迈克尔·J.布拉德利（Michael·J.Bradley）是圣母大学（University of Notre Dame）的数学博士，现为梅里马克学院数学系教授兼主任。是《离散数学导论》和《商业微积分》的作者，同时在《学院数学期刊与数学杂志》上发表文章。迈克尔·J.布拉德利教授拥有23年大学水平的数学教学、写作和研究经验，并持续20年为4-12年级学生讲授暑期数学。
20世纪的数学难题
1900年在巴黎召开的第二届数学家大会上，希尔伯特进行了一次题为《数学难题》（Mathematical problems）的演讲，指出了10个他认为影响下个世纪数学发展进程的核心问题。这篇被国际上多家数学期刊转载的演讲全文实际上包含了覆盖数学各个领域的23个难题：6个数学公理基础问题，6个代数数论问题，6个代数与几何问题和5个分析问题。这些问题中几乎没有一个是针对某一点的，绝大部分都代表整个研究活动。贯穿20世纪，当每一个希尔伯特难题被征服的时候，都会引起整个国际数学界的关注。德国数学家赫尔曼外尔（Hernann Weyl）称解决难题的人为数学家中的荣誉阶级（Honor Class）。
公理化组的第一个难题，需要证明连续性假设（continuum hypothesis），其引出的成果撼动了整个数学的基础。连续性假设，由俄罗斯数学家乔治康托（Georg Cantor）于1879年提出，他断言每个实数的无穷子集都是或者可数的无穷集，如正整数集，或者包含连续的基数，如实数全集。厄恩斯特朗美罗（Ernst Zermello）、伯特兰罗素（Bertrand Russell）、库尔特哥德尔（Kurt Godel）都对这一问题的不同方面作出卓越贡献。美国数学家保罗科恩（Paul Cohen）于1963年显示这个假设无法用其他集合论的公理证明。尽管问题的答案与希尔伯特的预期很不相同，却圆满达成了他想要激起广泛数学研究的初衷，包括质疑基础的假设。
希尔伯特的第七个难题，最具体的问题之一，代数数论方面，达成了希尔伯特的另一个目标，即被解决之后引出新的问题。这个问题需要证明任形式的表达式都是超越数，如果a和6同是代数数（即整系数多项式方程的根），并且6是无理数（不能表达为两整数之商）。这种形式的数包括，即希尔伯特数。1934年，俄罗斯数学家亚历山大格尔方德（Aleksandr Gelfond）提供了满意的证明，而后此问题被称为格尔方德定理。拓展原初问题的疆域，数学家想要知道如果a与6都是超越数，那么ab是否为超越数。这个更具有普遍性的问题在原初问题解决70多年后仍持续激励着数学家们为之奋斗。
这23个希尔伯特难题不仅是一些艰涩难题的集合，在他精心措辞的讲稿里，希尔伯特解释了每个问题之所以作为一个重要的数学议题呈现在这里的原因。他认为每个问题的解决都会产生一个照亮特殊领域和相关概念的理论，他坚持众多绝妙问题的存在正是数学学科健康发展的证据。国际数学界作出热烈回应，欣然接受了希尔伯特具有远见卓识的难题。
分析和理论物理
希尔伯特与他的同事们一起致力于这23个难题，专注于最后的一组难题，分析成为他19021912年的研究重点。希尔伯特1904年对迪拉克法则（Dirchlet principie）所做的推广帮助第20道难题取得进展，这道难题需要寻求为一些指定值在给定数域边界建立函数并使得它的导数在数域内部满足一个给定的偏微分方程的原理。1905年，他提供了关于满足两个特殊临界值的线性微分方程的存在性的第21道难题的不完全解法。希尔伯特在变分法方面做了广泛研究，这是一个寻求满足一系列微分方程并使一个相关表达式值最小的函数的分支。他在这一领域的工作对所有难题中最具广泛性的一个，即需要大量运用变分技巧的23题作出贡献。
希尔伯特对分析最重要的贡献便是无限维向量空间，现在叫做希尔伯特空间。那些包含无穷个满足一定收敛判别准则的函数集合使他的工作涉及积分方程，即包含未知函数及其积分形式的方程。在1912年出版的《线性积分方程的代数学原理》（Principies of the algebraic theory of linear integral equtions）一书中希尔伯特总结了19041910年的工作。由于他的数论报告已在15年前做出，这部论著为很多数学家开拓了新的研究疆域。
希尔伯特在分析方面的工作，与他的23个难题以及在不变量论、数论、几何上的成就，巩固了他作为世界最顶尖数学家的地位。1910年，匈牙利科学院授予他波尔约奖（Bolyai Prize）。这项以匈牙利几何学家雅诺什波尔约（JfinosBolyai）命名的奖项，表彰希尔伯特在数学领域产生的巨大影响。在授奖致辞中，科学院高度评价了希尔伯特思想的深刻性、方法的原创性及逻辑证明的严谨性，这些都成为希尔伯特具有影响力工作的卓越特质。
由于希尔伯特空间在物理现象分析方面的独特作用，希尔伯特的后续研究深入数学物理。他对量子力学、气体动理论、放射理论都作出了贡献。1915年他与阿尔伯特爱因斯坦（Alber Einstein）保持每日通明信片，当时爱因斯坦在哥廷根大学物理系，这两个人各自独立地完成了广义相对论的场方程。1924年，柯朗出版了他的《数学物理方法》（Methods of Mathematical Physics），希尔伯特作为共同作者出现，他在此为各种物理学理论建立了严格的数学基础。这本著作及柯朗于1937年出版的同名第二卷书从希尔伯特的讲稿和论文中汲取了许多营养。
P5-7
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