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| 內容簡介： |
《变分分析与优化》系统介绍变分分析的基本理论，讨论变分分析在最优化理论与算法分析中所起的基础性作用。变分分析部分包括宇宙空间与锥、集值映射、集合的变分几何、函数的广义微分、单值函数的Lipschitz性质和集值映射的Aubin性质、隐函数定理与系统稳定性。最优化理论部分包括最优性理论（含有Lipschitz函数优化的Clarke乘子原则以及均衡约束数学规划问题的最优性条件）、非线性规划的扰动分析、二阶锥的变分分析与二阶锥约束优化问题的扰动分析，以及半正定矩阵锥的变分分析与半定规划问题的扰动分析。最优化的算法部分包括Newton方法和邻近点方法，邻近点方法部分介绍Moreau包络、等式约束的非线性规划问题、非线性二阶锥约束优化问题与非线性半定规划问题的增广Lagrange方法的收敛速度等。
《变分分析与优化》可作为高等院校数学系高年级本科生，运筹学与控制论专业和相关数学专业、管理专业的研究生从事非线性最优化研究的基础教材，也可作为相关专业科研人员的参考用书。
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| 目錄：
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《运筹与管理科学丛书》序
前言
符号表
第1章 极小化与锥
1.1 极小化问题
1.2 锥与宇宙包
第2章 集值映射
2.1 集合列收敛
2.2 集值映射
2.3 上图极限
第3章 变分几何与微分
3.1 变分几何
3.2 微分理论
第4章 Lipschitz性质
4.1 单值映射的Lipschitz连续性
4.2 次微分的刻画
4.3 次光滑函数
4.4 集值映射的Lipschitz连续性
4.5 Aubin性质和Mordukhovich准则
4.6 度量正则性与开性
4.7 Rademacher定理及其推论
4.8 投影算子的Clarke广义次梯度
4.9 半光滑函数
4.10 隐函数定理
4.11 线性系统的度量正则性
4.12 集合约束的线性系统
4.13 集合约束的非线性系统
4.14 抽象约束系统的稳定性
第5章 最优性理论
5.1 对偶性
5.2 最优性的基本原理
5.3 切锥的计算
5.4 对偶理论的应用
5.5 最优性条件
5.6 Clarke乘子法则
5.7 互补约束优化的一阶最优性条件
第6章 非线性规划的扰动分析
6.1 稳定性分析的几个概念
6.2 到多面体集合的投影
6.3 NLP约束集合的切锥与二阶切集
6.4 NLP的一二阶最优性条件
6.5 多面体凸集合上的变分不等式的强正则性
6.6 非线性互补问题的稳定性
6.7 NLP问题的KKT系统的强正则性
6.8 NLP问题的稳定性分析
第7章 二阶锥的变分分析与优化
7.1 二阶锥简介
7.2 二阶锥的变分几何
7.3 二阶锥的投影映射
7.4 伴同导数
7.5 二阶锥约束优化的最优性条件
7.6 二阶锥约束优化的稳定性分析
第8章 半正定矩阵锥的变分分析与优化
8.1 半正定矩阵锥简介
8.2 对称矩阵值函数的微分
8.3 半正定矩阵锥的投影算子
8.4 非线性半定规划的最优性条件
8.5 非线性半定规划的稳定性分析
第9章 Newton方法与邻近点方法
9.1 经典Newton方法
9.2 非光滑Newton方法
9.3 光滑Newton方法
9.4 Moreau包络
9.5 非线性规划的增广Lagrange方法
9.6 锥约束优化的增广Lagrange方法
9.7 邻近点方法
9.8 乘子交替方向方法
参考文献
索引
《运筹与管理科学丛书》已出版书目
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| 內容試閱：
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第1 章极小化与锥
1.1 极小化问题
1.1.1 优化问题的表述
用. =[.∞, +∞]记增广实数轴,则每一子集合E.. 都有上确界最小的上界,记为supE,同样具有下确界最大的下界,记为infE.约定inf.=∞, sup . = .∞.如果infE是集合E中的元素,将infE记为minE.
设X 是有限维Hilbert空间,C.X . f : X → . 为一增广实值函数,如果集合E具有形式E={fx:x∈ C}. ., 引入记号
inff:=inffx:=inf{fx:x∈ C},
Cx∈C
如果infCf是集合{fx:x∈ C} 中的一个值,将infCf记为minCf.极小点集合为
argminC f :=argmin
x∈Cfx
:=
..
{x ∈ C:fx=infCf},如果infCf.
= ∞,
. .,如果infCf=∞.
集合argminC f表示f在C上的全局极小点globalminimizer的集合,即argminC f = {x ∈ C:fy.fx,.y ∈ C}.相对应的局部极小点localminimizerˉx∈ C定义为：存在xˉ的邻域V∈N ˉx满足
fˉx.fx,.x ∈ C ∩ V.
下面给出几个优化问题的具体例子.
例1.1设X = .. n , C ..n 为fix.0,若i∈ I1 .
C = x ∈ X 且fix=0,若i∈ I2 ,
其中X 是.n 中的一集合,I1与I2是指标集合.问题minCf0表示为
第1 章极小化与锥
minf0x
s.t.fix.0,i∈ I1,1.1 fjx=0,j∈ I2,x∈ X.
它等同于在n 上极小化函数f : .n →., 其中
..f0x, 当x ∈ C,fx=.
. ∞, 否则.
通常X ..n 是一个箱式约束集合, 即X = X1 × ??? × Xn是n个闭区间Xj,j=1,,n的卡氏积.比如X=.+ n := {x=x1,
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