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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.1.2 Characters andRepresentations . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.1.3 Tensor Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.2 S4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2.1 ConjugacyClasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2.2 Characters andRepresentations . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2.3 Tensor Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4 AN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.1 A4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.2 A5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.2.1 ConjugacyClasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.2.2 Characters andRepresentations . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.2.3 Tensor Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5 T _ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.1 ConjugacyClasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.2 Characters andRepresentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.3 Tensor Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 6 DN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 6.1 DN with N Even . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 6.1.1 ConjugacyClasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 6.1.2 Characters andRepresentations . . . . . . . . . . . . . . . 52 6.1.3 Tensor Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 6.2 DN with N Odd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 6.2.1 ConjugacyClasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 6.2.2 Characters andRepresentations . . . . . . . . . . . . . . . 56 6.2.3 Tensor Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 6.3 D4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 6.4 D5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 7 QN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 7.1 QN with N = 4n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 7.1.1 ConjugacyClasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 7.1.2 Characters andRepresentations . . . . . . . . . . . . . . . 62 7.1.3 Tensor Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 7.2 QN with N = 4n+2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 7.2.1 ConjugacyClasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 7.2.2 Characters andRepresentations . . . . . . . . . . . . . . . 64 7.2.3 Tensor Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 7.3 Q4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 7.4 Q6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 8 QD2N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 8.1 Generic Aspects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 8.1.1 ConjugacyClasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 8.1.2 Characters andRepresentations . . . . . . . . . . . . . . . 70 8.1.3 Tensor Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 8.2 QD16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 9 Σ2N2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 9.1 Generic Aspects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 9.1.1 ConjugacyClasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 9.1.2 Characters andRepresentations . . . . . . . . . . . . . . . 76 9.1.3 Tensor Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 9.2 Σ18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 9.3 Σ32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 9.4 Σ50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 10 Δ3N2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 10.1 Δ3N2 with N3 _= Integer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 10.1.1 ConjugacyClasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 10.1.2 Characters andRepresentations . . . . . . . . . . . . . . . 89 10.1.3 Tensor Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 10.2 Δ3N2 with N3 Integer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 10.2.1 ConjugacyClasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 10.2.2 Characters andRepresentations . . . . . . . . . . . . . . . 92 10.2.3 Tensor Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 10.3 Δ27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 11 TN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 11.1 Generic Aspects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 11.1.1 ConjugacyClasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 11.1.2 Characters andRepresentations . . . . . . . . . . . . . . . 99 11.1.3 Tensor Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 11.2 T7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 11.3 T13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 11.4 T19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 12 Σ3N3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 12.1 Generic Aspects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 12.1.1 ConjugacyClasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 12.1.2 Characters andRepresentations . . . . . . . . . . . . . . . 111 12.1.3 Tensor Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 12.2 Σ81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 13 Δ6N2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 13.1 Δ6N2 with N3 _= Integer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 13.1.1 ConjugacyClasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 13.1.2 Characters andRepresentations . . . . . . . . . . . . . . . 126 13.1.3 Tensor Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 13.2 Δ6N2 with N3 Integer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 13.2.1 ConjugacyClasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 13.2.2 Characters andRepresentations . . . . . . . . . . . . . . . 133 13.2.3 Tensor Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 13.3 Δ54 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 13.3.1 ConjugacyClasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 13.3.2 Characters andRepresentations . . . . . . . . . . . . . . . 139 13.3.3 Tensor Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 14 Subgroups and Decompositions of Multiplets . . . . . . . . . . . . . 147 14.1 S3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 14.1.1 S3→Z3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 14.1.2 S3→Z2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 14.2 S4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 14.2.1 S4→S3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 14.2.2 S4→A4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 14.2.3 S4→Σ8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 14.3 A4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 14.3.1 A4→Z3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 14.3.2 A4→Z2 ×Z2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 14.4 A5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 14.4.1 A5→A4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 14.4.2 A5→D5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 14.4.3 A5→S3 _ D3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 14.5 T _ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 14.5.1 T _→Z6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 14.5.2 T _→Z4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 14.5.3 T _→Q4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 14.6 General DN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 14.6.1 DN →Z2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 14.6.2 DN →ZN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 14.6.3 DN →DM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 14.7 D4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 14.7.1 D4→Z4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 14.7.2 D4→Z2 ×Z2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 14.7.3 D4→Z2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 14.8 General QN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 14.8.1 QN →Z4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 14.8.2 QN →ZN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 14.8.3 QN →QM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 14.9 Q4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 14.9.1 Q4→Z4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 14.10 QD2N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 14.10.1 QD2N →Z2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 14.10.2 QD2N →ZN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 14.10.3 QD2N →DN2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 14.11 General Σ2N2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 14.11.1 Σ2N2→Z2N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 14.11.2 Σ2N2→ZN ×ZN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 14.11.3 Σ2N2→DN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 14.11.4 Σ2N2→QN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 14.11.5 Σ2N2→Σ2M2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 14.12 Σ32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 14.13 General Δ3N2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 14.13.1 Δ3N2→Z3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 14.13.2 Δ3N2→ZN ×ZN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 14.13.3 Δ3N2→TN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 14.13.4 Δ3N2→Δ3M2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 14.14 Δ27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 14.14.1 Δ27→Z3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 14.14.2 Δ27→Z3 ×Z3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 14.15 General TN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 14.15.1 TN →Z3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 14.15.2 TN →ZN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 14.16 T7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 14.16.1 T7→Z3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 14.16.2 T7→Z7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 14.17 General Σ3N3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 14.17.1 Σ3N2→ZN ×ZN ×ZN . . . . . . . . . . . . . . . . 175 14.17.2 Σ3N3→Δ3N2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 14.17.3 Σ3N3→Σ3M3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 14.18 Σ81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 14.18.1 Σ81→Z3 ×Z3 ×Z3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 14.18.2 Σ81→Δ27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 14.19 General Δ6N2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 14.19.1 Δ6N2→Σ2N2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 14.19.2 Δ6N2→Δ3N2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 14.19.3 Δ6N2→Δ6M2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 14.20 Δ54 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 14.20.1 Δ54→S3 ×Z3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 14.20.2 Δ54→Σ18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 14.20.3 Δ54→Δ27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 15 Anomalies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 15.1 Generic Aspects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 15.2 ExplicitCalculations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 15.2.1 S3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 15.2.2 S4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 15.2.3 A4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 15.2.4 A5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 15.2.5 T _ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 15.2.6 DN N Even . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 15.2.7 DN N Odd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 15.2.8 QN N = 4n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 15.2.9 QN N = 4n+2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 15.2.10 QD2N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 15.2.11 Σ2N2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 15.2.12 Δ3N2 N3 _= Integer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 15.2.13 Δ3N2 N3 Integer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 15.2.14 TN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 15.2.15 Σ3N3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 15.2.16 Δ6N2 N3 _= Integer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 15.2.17 Δ6N2 N3 Integer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 15.3 CommentsonAnomalies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 16 Non-Abelian Discrete Symmetry in QuarkLepton Flavor Models . . 205 16.1 NeutrinoFlavorMixingandNeutrinoMassMatrix . . . . . . . . 205 16.2 A4 FlavorSymmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 16.2.1 RealizingTri-BimaximalMixingofFlavors . . . . . . . . 207 16.2.2 Breaking Tri-Bimaximal Mixing . . . . . . . . . . . . . . 209 16.3 S4 Flavor Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 16.4 AlternativeFlavorMixing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 16.5 CommentsonOtherApplications . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 16.6 CommentonOriginsofFlavorSymmetries . . . . . . . . . . . . 223 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 Appendix A Useful Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 Appendix B Representations of S4 in Different Bases . . . . . . . . . . . 237 B.1 Basis I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 B.2 Basis II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 B.3 Basis III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 B.4 Basis IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 Appendix C Representations of A4 in Different Bases . . . . . . . . . . 245 C.1 Basis I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 C.2 Basis II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 Appendix D Representations of A5 in Different Bases . . . . . . . . . . 247 D.1 Basis I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 D.2 Basis II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 Appendix E Representations of T _ in Different Bases . . . . . . . . . . . 261 E.1 Basis I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 E.2 Basis II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 Appendix F Other Smaller Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 F.1 Z4 _ Z4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 F.2 Z8 _ Z2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 F.3 Z2 ×Z4 _ Z2 I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 F.4 Z2 ×Z4 _ Z2 II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 F.5 Z3 _ Z8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 F.6 Z6 ×Z2 _ Z2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 F.7 Z9 _ Z3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

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