新書推薦：
《
一个英国军事顾问眼中的二战
》
售價：NT$
1265.0
《
就业、利息和货币通论（徐毓枬译本）（经济学名著译丛）
》
售價：NT$
306.0
《
瘦肝
》
售價：NT$
454.0
《
股票大作手回忆录
》
售價：NT$
254.0
《
秩序四千年：人类如何运用法律缔造文明
》
售價：NT$
704.0
《
民法典1000问
》
售價：NT$
454.0
《
国术健身 易筋经
》
售價：NT$
152.0
《
古罗马800年
》
售價：NT$
857.0
|
| 編輯推薦： |
|
《从面积问题到Louville理论》适用于广泛的读者,包括数学、物理、力学专业的大学生、研究生、教师以及科研人员,亦可作为大学生和研究生的教材或参考书。
|
| 內容簡介： |
|
《从面积问题到Louville理论》从切线和面积问题谈起,在极短的篇幅内清晰地讲解了微积分最本质的内容,包括了外微分运算的几何意义和Stokes公式,以及函数的层饼表示和若干重要的不等式．《从面积问题到Louville理论》通过几何概率讲解了积分几何并应用到Benneson型等周不等式,详细地证明了测度集中现象,用具体的例子阐述了无穷维微积分,从振动方程本身入手研究三角函数．特别是详细地讲解了为什么某些初等函数的原函数不能表示成初等函数的Liouville理论．《从面积问题到Louville理论》特别强调对数学的理解,从基本问题讲起,直达前沿领域,讲解透彻,内容与方式都别具一格。
|
| 目錄：
|
第一讲 如何求切线？面积和体积
1面积的定义
2三角形的面积
3圆的面积——一个难题
4一个思考的问题:抛物线y=x2下的面积
5求切线——Fermat模式
6再回到求抛物线y=x2下的面积——Newton模式
7球体的体积
8一个挑战:求球体的表面积
9用两次Newton模式:更复杂体的体积——二重积分
第二讲 更复杂函数求切线和积分
1第一个重要极限和三角函数的导数
2第二个重要极限和对数函数的导数
3指数函数的导数——反函数的求导法则
4更复杂函数的斜率的求法
5更复杂函数对应的面积——求积分的基本方法
6曲线的弧长
7求球体的表面积的另一个方法
第三讲 无穷阶多项式——幂级数
1Newton二项式定理
2Newton计算π的近似值
3无穷阶的多项式——幂级数
4幂级数的另一个应用——Euler的神奇求和公式
5在一般点处的Taylor展开的微妙之处
第四讲 多元函数极值问题？偏导数？曲线积分和外微分
1极值问题和偏导数
2导数和偏导数的更多问题
3Newton模式:沿着曲线做功——曲线积分
4关于二重积分的定义——面积是有方向的——外积的引入
5外微分形式和外微分，外微分的几何意义，Stokes公式
6通过复数求积分——复数的引入和复变函数
第五讲 计算面积的若干新方法
1二重积分的一个有趣方法
2有理数的长度30 3区间分割？数的进位表示与一些有趣的集合
4积分的又一种计算方法——Lebesgue积分的计算与测度论的起源及其与概率论的联系
5另一种分割y轴计算面积法——函数的层饼表示
第六讲 积分几何和等周不等式
1一个几何概率问题
2平面上刚体的不变测度
3凸集的支撑函数和几何概率问题的解
4另一个几何概率问题和Poincaré运动公式
5Bonnesen型等周不等式
第七讲 等周不等式和测度集中
1BrunnMinkowski不等式和PrekopaLeindler不等式
2等周不等式和索伯列夫不等式
3球面上的等周不等式与测度集中
4Levy引理的另一种形式及其直接证明
第八讲 无穷维函数的求导和积分
1无穷维函数的构造
2无穷维极值问题——变分法
3无穷维函数的积分与测度集中
第九讲 振动问题与微分方程
1弹簧的振动——由方程本身建立正弦函数和余弦函数的性质
2弦的振动——Fourier级数——无穷多守恒量
3利用在平面上任意直线上的积分值来重构二元函数——一种简单情形
第十讲 Liouville理论——为什么ex2的原函数不能表示成初等函数
1初等函数的构造
2初等函数的导数
3添加对数函数与指数函数后，关于复合多项式的导数的一个结果
4Liouville定理及其证明
5Liouville定理的应用——某些初等函数的原函数不能表示成初等函数的例子和证明
第十一讲 若干杂题
1闭曲线所围面积公式与Green公式的另一个推导
2Euler交错和的表示和计算问题
3Brouwer的不动点定理和Poincaré不动点定理
4Rolle定理及其高维和无穷维推广的问题
5圆周上的函数
6对严格化理论的需要——极限语言的可操作性定义
7关于分数阶微积分的闲话
参考文献
后记
|
| 內容試閱：
|
第一讲如何求切线？面积和体积
1面积的定义
对于一个矩形，其长和宽分别为a和b，则它的面积定义为S=ab.为什么这样定义矩形的面积?定义为S=a+b可以吗? 或者其他形式可以吗？
在古代进行土地的分割或者交换时要比较大小，要计算产量以及税收.因此最关键的是:如果把一块平面区域分割后，其各个部分的面积之和应该等于整个面积.例如，把上述矩形分成四块，可以看到正是乘法满足的分配律使得四块小面积的和为整个矩形的面积，即当然，像测量长度是要一段一段去量一样，面积要一块一块去测量，因此我们必须先规定一个“块”的单位，如一个边长是1个单位如1厘米的正方形，它的面积是一个单位1平方厘米，然后用这个单位去一块一块地覆盖成一个矩形，那么这个矩形会被ab个单位覆盖，也就是说这个矩形的面积是ab个单位面积.
2三角形的面积
有了矩形面积的定义之后，我们下一个要寻求的自然是三角形的面积了.设△ABC 的底边长为BC=a，高为AD=h.取AD的中点E，过E作平行于BC的线段与BC构成一个矩形的对边，因此这个矩形的面积为而由三角形的全等可知这也是△ABC的面积.
有了三角形的面积，那么通过分成若干个三角形，就可以求出多边形的面积.而下一个困难的问题是求曲边图形的面积.最简单的曲边图形就是圆，它在各处弯曲的程度是一样的.那么如何求圆的面积? 你仔细想想这真的很难.
3圆的面积——一个难题
我们都已经记住了一个半径为r 的圆的面积为S=πr2.可是有谁能给出这个公式的证明呢? 我相信绝大多数人不能作出这样的证明.这一公式是数学史上的重大进展，一个了不起的成就，是由伟大的古希腊数学家ArchiGmedes阿基米德给出的.在Archimedes之前，也就是公元前330年左右，Euclid欧几里得在其？几何原本？中证明了如下两个命题.
命题1圆的周长和直径之比为常数.我们设此常数为π1，则写成l=2rπ1.
命题2圆的面积和半径平方之比为常数.我们设此常数为π2，则写成
可是当时人们并不知道这两个常数的关系.这也远非平凡的问题，聪明的Euclid也不能再进一步了.
问题1给出以上两个命题的证明，并证明π1=π2.读者自己试试看.
到了公元前225年左右，Archimedes在其著作？圆的测定？中一举攻克了这一难题，他证明了下面的命题:
命题3圆的面积等于其周长和半径乘积的一半，写成公式的形式为由以上三个命题易见π1=π2 成立.将这一共同的常数记为π，这就是我们今天一直在用的圆周率.
Archimedes证明命题3的方法是双重归谬法:若AB 引出矛盾，A 结果1正多边形的面积等于边心距和周长乘积的一半.
结果2可以作圆内接正多边形使其面积与圆面积之差任意小.同样的结论对圆外切正多边形也成立.
问题2你可以试着证明上述两个结果，并证明命题3.
注1Archimedes利用相似的方法求出了球体的体积和表面积.
4一个思考的问题:抛物线y=x2下的面积
与圆的面积问题相比，抛物线y=x2与其坐标轴围成的面积更难求.因为抛物线各点处弯曲都不一样.用化成矩形的方法也行不通，用分成一块一块的方法逼近也其复杂，难以奏效.你可以体会一下这个问题的难度.我们先换个话题，考虑如何确定曲线的切线.
5求切线——Fermat模式
中学时，除直线本身以外，我们只会求圆的切线，其切线与半径垂直.对于一般的从面积问题到Liouville理图形，如抛物线，怎样求其任一点处的切线? 试一试就知道这不太容易.17世纪的法国数学家Fermat发明了一种求切线的技术，解决了这个问题.他的想法是先求过PQ 两点的割线，然后让Q 点与P 点重合，就得到了P 点的切线.为此，只需先求割线斜率，再求切线斜率.下面通过求抛物线y=x2 的切线斜率来说明该方法.
设P 和Q 的坐标分别为x，x2和x+Δx，x+Δx2，那么割线PQ 的斜率为在式1中，令Δx 为零，则P 与Q重合，即割线变成了切线，相应地得到切线的斜率为这真是个绝技! 太巧妙了! 我们把这个绝技称为Fermat模式.利用Fermat模式同样可以得到y=xn 在点x，y的斜率为这里n 为任何有理数均可.
问题3通过计算验证上述结论.
注2当然我们容易看出y=13x3的斜率是k=x2.
注3Fermat模式的实质:我们分析一下求斜率的方法的本质.假设fx的切线斜率是k，那么有当Δx 变成零时式3成为等式.此时我们把这个最后得到的k 称为f的导数，记成f′x.
那么Fermat是如何想到他的微分法的呢? 是灵光乍现吗? 是需要思维的飞越 还是只需要基本的思考就可以得到? 以前讲课和看书的时候没有认真想过这个问题，看数学史的书籍的时候也没看到这方面的记载，就忽略了.2013年12月的一天的下午，我走在去办公室的路上忽然想起这个问题，迅速在大脑里进行了推理和计算.我先是想对抛物线计算切线，是直接计算，而不用Fermat模式的方法.我发现这很容易做到，只需要利用切线与抛物线的交点是联立方程的重根就可以了.假设过点x0，y0的切线斜率是k，则切线方程是与抛物线y=x2 联立求解，有x2-y0=kx-x0.再利用y0=x20因式分解为x-x0x+x0-k=0，这里k 是固定的，因此，一般来说，有两个根.而相切的情形是重根，因此对于这个问题这里就只有一个根了，即x1=x2，从而x0=k-x0，得到k=2x0.这意味着也可以直接消去x-x0，得到方程x=k-x0，即k=x+x0.因为x=x0 是联立方程的重根，所以有k=2x0
这个方法的实质就是将x0，y0处的切线方程与曲线方程y=fx联立求解，利用x0，y0是解得到斜率k 的值.具体就是在y-y0=kx-x0中代入y=fx，得到fx-fx0=kx-x0.根据切线的几何意义，上述方程的根x=x0 是重根，因此通过因式分解得到这里k 是固定的，作为x 的方程k-fx-fx0 x-x0 =0的根也是x=x0，否则联立方程就有两组解，即两个交点，这与重根相矛盾.若x-x0 能整除fx-fx0，记整除后的函数为kx=fx-fx0x-x0推出k=kx0.因此最关键的一步是消去x-x0，再令x=x0 就得到k 的值，即是正数甚至是有理数的情形，x-x0可以直接消去，在最后的式子中再令x=x0 就得到k 的值.
这个方法的出发点是把k 看成固定的.然后利用切点处解的重根得到k 的值.与此等价的另一个出发点是把k 看成变化的.在前面的推导过程中，我们得到一个函数 ，由唯一解x=x0 推出k=kx0.kx正好是割线的斜率.这就是Fermat模式! FerGmat给出了k=fx-fx0 x-x0 x=x0在几何上的意义是割线的斜率的极限就是切线的斜率.由此可见这一切都是极其自然的，不是灵光乍现，是从最基本的想法出发必然会得到的.对于像三角函数这样的曲线，x-x0不能直接消去，因此不能直接令x=x0.为了处理这种不能直接消去x-x0 的情形，为了求得k=fx-fx0x-x0x=x0的值，需要一些技巧，在后面的章节里对具体问题逐一介绍，其本质是逼近的方法. 这里必须强调的是，求切线斜率的本质在于联立方程在切点处是重根的性质，在概念的本质上这是一个代数问题，即普通超越函数的因子分解.而割线方法从概念上不是本质的，是作为一种求解的技巧出现的.但是这样一种技巧有着无可比拟的优越性，在Newton和Leibnitz的手上发展成了强有力的无穷小分析方法.
注4在求解方程k=fx-fx0 x-x0 x=x0时，如果不能得到唯一的k 值，就说明在此时不存在切线.例如，考虑fx=|x|在零点的切线斜率，则k=|x| x x=0=±1.这是由于这个函数可以看成是两个不同的函数在零点拼接起来的，在零点各有自己的切线.
注5联立方程解有时候没有唯一性，在切点附近就只有切点这一个解.但是在远离切点的地方可能有另一个解.例如，对于三次曲线y=x3，有从而利用x=x0 是方程k-x2+xx0+x20=0的解得到k =3x20这时方程就变成了=0，它有另一个解x=-2x0.这说明x=x0 处的切线与三次曲线交于另外的点.这似乎意味着x=x0 至少是联立方程的二重根除了曲线是直线的特殊情形.相切只是一个局部的性质，因此不必考虑是否在远处有其他解的存在性，我们依然有k
6再回到求抛物线y=x2 下的面积——Newton模式
Newton牛顿，1642~1722找到了求面积的巧妙方法.Newton假设从0到x 这段抛物线下的面积为Sx，那么当Δx 很小的时候，面积之差满足进一步写成这里唯一需要的是逻辑的命题:如果AB，那么A=B.当取Δx=0时，就有S′x=x2，即x2 是Sx的切线斜率.因此需要知道的是:Sx是什么函数时，它的切线斜率是 太好了! 我们发现看前面的注2一切都解决了，面积竟然精确地求出来了，多么漂亮的解法啊! 你能发现这里的秘密 其关键是发现了什么?
Newton发现求面积是求切线斜率的逆! 就是说，若想求fx下面的面积，只需求其切线斜率是fx的函数，这个函数Sx称为fx的原函数.对于区间[a，b]之间的函数图像面积就是Sb-Sa.其模式是:已知fx，由S′x=fx，反求Sx.
这就是Newton模式! 由此一个数学的新时代来临了，微积分从此发展起来，成为数学的最重要的领域，并为其他科学领域提供了最有力的数学工具.有了Fermat模式和Newton模式之后，剩下的基本上就是简单的体力劳动了!
问题4求y=sinx 和y=cosx 的切线斜率，并试求它们下面的面积.
注6为了下面的需要，我们指出，如果想求两个函数的和的切线斜率，则只需分别求出再相加.如果想求两个函数和的下面的面积，只需分别求出原函数再相加.
我们的方法是精确的.其逻辑基础为:如果AB，那么A=B.下面求面积和体积的所有问题都可以用两边不等式的方法严格处理.
思考题:一个函数的原函数有多少个? 利用Newton模式求面积时怎样选择原函数
7球体的体积
Archimedes用了许多年得到的球体的体积和表面积公式，利用Newton的方法变得极其容易.Newton一边喝茶一边在纸上随便写几行，就解决了Archimedes很辛苦建立起来的球体积问题.大约10分钟，半页纸而已.为此建立一个坐标系，以球心为原点，xOy 面过赤道，z 轴过北极，球的半径设为r.只需求半球的体积.设V h为xOy 面和平面z=h 之间所在的球的体积，则即V′h=πr2-πh2.从而Vh由两部分组成，一部分是πr2h，它的切线斜率是
因此半球的体积是
于是整个球的体积为
问题5求锥体的体积.
8一个挑战:求球体的表面积
2009年5月21日的晚上，我想出了一个求球体表面积的方法注:2010年5月23日发现Garding的书？数学概观？上也是这样做的.假设半径为r 的球体的表面积为Sr，那么球体的体积Vr满足dVr=Vr+dr-Vr=Srdr，
……
|
|
購物車/收銀台(0) | 在線留言板
| 付款方式
| 聯絡我們
| 運費計算
| 幫助中心 |
加入書簽
HOME
新書上架
