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| 編輯推薦： |
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《线性算子的谱分析》适合数学、应用数学以及其他相关的理工科研究生阅读, 可供专门从事泛函分析、线性算子谱理论、微分算子理论研究的数学工作者使用, 也可供从事偏微分方程、非线性科学和量子力学的科学工作者参考.
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| 內容簡介： |
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《线性算子的谱分析》从有限维空间线性算子的特征值出发, 采用类比、归纳等方式, 通过大量实例循序渐进地引入无穷维空间上线性算子的谱理论, 系统介绍并分析了有界线性算子、共轭算子、正常算子、自共轭算子、紧算子的结构, 讨论了上述这些有界线性算子的谱点分类、谱集的性质和谱分解定理. 进而对闭的线性算子、无界线性算子, 特别是在近代物理学、量子力学中有着深刻应用背景的微分算子的结构、亏指数、自共轭扩张和它们的谱分解加以分析.
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| 目錄：
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绪论
0.1.1有限维空间矩阵运算的特征值
0.1.2无穷维空间函数按坐标分解
0.1.3SturmL1ouv1lle微分算子按特征分解
0.1.4无穷维空间线性算子的谱分解
第一章赋范空间和有界线性算子
1.1Banach空间和H1lbert空间
1.1.1赋范空间和Banach空间
1.1.2内积空间和H1lbert空间
1.1.3正交集和正交基
习题1.1.
1.2连续线性算子
1.2.1连续线性算子和它的范数
1.2.2赋范线性空间磐Xy
1.2.3逆算子和有界的逆算子
习题1.
1.3共轭算子
1.3.1Banach空间上的共轭算子
1.3.2R1esz定理和LaxM1lgram定理
1.3.3H1lbert空间上的共轭算子
1.3.4共轭算子的例
习题1.
1.4投影算子
1.4.1豆补的线性子空间和投影算子
1.4.2连续的投影算子
1.4.3不变子空间和约化子空间
习题1.
1.5正常算子和自共轭算子
1.5.1正常算子和自共轭算子的定义、例
1.5.2自共轭算子的性质
1.5.3正常算子的性质
1.5.4非负的和正的算子
1.5.5自共轭线性算子的平方根
习题1.
1.6紧算子
1.6.1紧的线性算子的定义和例
1.6.2紧线性算子的性质
1.6.3弱列紧
1.6.4紧算子的有穷秩逼近
习题1.
第二章有界线性算子的谱
2.1谱集和正则点集
2.1.1线性算子正则点和谱点的定义
2.1.2线性算子谱的例
习题2.
2.2谱集的基本性质
2.2.1有界线性算子的谱
2.2.2近似点谱
2.2.3有界线性算子的谱半径
习题2.
2.3线性算子的几何分析
2.3.1单位分解和投影算子的加权和
2.3.2投影算子加权和的性质
2.3.3投影算子加权和的谱
习题2.
2.4紧线性算子的谱
2.4.1紧线性算子的将征值
2.4.2紧算子的谱集
2.4.3例
习题2.
2.5紧线性算子的结构
2.5.1紧线性算子的指标
2.5.2紧线性算子的谱分解
2.5.3R1eszSchauder定理
习题2.
2.6正常算子和自共轭算子的谱
2.6.1正常线性算子的谱
2.6.2有界自共轭算子的谱
2.6.3紧的正常算子的谱分解
2.6.4极大极小原理
2.6.5笛卡儿分解
习题2.
2.7有界自共轭算子的谱分解
2.7.1谱族
2.7.2谱积分
2.7.3谱族与线性算子的谱
习题2.
2.8自共轭算子的演算和它的谱分解
2.8.1算子演算和谱积分
2.8.2酉算子
习题2.
第三章无界线性算子
3.1闭的和可闭的线性算子
3.1.1线性算子的图和图模
3.1.2闭线性算子的例
3.1.3可闭的线性算子
习题3.
3.2共轭算子
3.2.1无界线性算子的共轭算子
3.2.2二次共轭算子
习题3.
3.3对称算子和自共轭算子
3.3.1耐称算子
3.3.2自共轭的线性算子
习题3.
53.4对称算子的结构和亏指数
3.4.1对称算子的值域和零空间
3.4.2共轭算子定义域的结构
3.4.3对称线性算子的亏指数
习题3.
53.5Cayley变换和对称算子的自共轭扩张
3.5.1Cayley变换
3.5.2对称算子的对称扩张
习题3.
第四章无界线性算子的谱算子
4.1无界线性算子谱的定义和例
4.1.1无界线性算子谱的定义
4.1.2谱分析的例子
习题4.
4.2无界线性算子谱的分布
4.2.1无界线性算子谱集的性质
4.2.2线性算子的数值域
4.2.3线性算子的正则型域
4.2.4无界自共轭算子谱集的性质
4.2.5自共轭算子的谱集非空
习题4.
4.3自共轭算子的谱分解
4.3.1自共轭算子的谱族
4.3.2谱积分
4.3.3自共轭线性算子的谱分解
习题4.
54.4正常算子的谱分解
4.4.1正常算子和它的谱族
4.4.2有界正常算子的谱分解
习题4.
54.5线性算子的本质谱
4.5.1本质谱的定义和性质～
4.5.2本质谱在紧摄动下的不变性
4.5.3本质谱核
习题4.
第五章线性常微分算子
5.1阶微分算子和它的共轭算子
5.1.1有限区间上定义的阶微分算子
5.1.2无穷区间上定义的阶微分算子
5.2Sturm-Liouv1lle算子
5.2.1Sturm-Liouv1lle算子和它的预解算子
5.2.2Sturm-Liouv1lle算子的谱
5.3高阶微分算子
5.3.1最大最小算子和亏指数
5.3.2具有紧预解算子的微分算子
5.4极限点型和极限圆型微分算子的自共轭域
5.4.1有限区间上定义的微分算子的自共轭域
5.4.2无穷区间上定义的微分算子的自共轭域
5.5具有中间亏指数奇型微分算子的自共轭扩张
5.5.1亏指数的取值范围
5.5.2最大算子域的分离性刻画
5.5.3微分算子自共轭域的完全刻画
5.6微分算子的辛结构
5.6.1辛空间
5.6.2高阶奇型微分算子自共轭域的辛几何刻画
5.6.3对称微分算子耗散扩张的辛几何刻画
第六章常微分算子的谱分析
6.1数学物理中的微分算子和Schrod1nger算子
6.2自共轭微分算子的谱
6.2.1Ao的共轭算子
6.2.2常系数自共轭微分算子及其相关摄动下的本质谱
6.2.3常系数自共轭Euler微分算子及其相关掇动下的本质谱
6.3自共轭微分算子谱的离散性
6.3.1般类型微分算子谱的离散性
6.3.2Euler微分算子谱是离散的充分必要条件
6.4J自共轭微分算子的本质谱
6.4.1J自共轭微分算子的定义
6.4.2常系数J对称微分算子及其相关摄动的本质谱
6.4.3常系数J自共轭Euler微分算子及其相关摄动的本质谱
6.4.4具有可积系数的二阶J对称微分算子的本质谱
6.5J自共轭微分算子谱的离散性
6.5.1高阶J自共轭微分算子谱离散的充分条件
6.5.2项高阶自共轭微分算子谱是离散的充分条件
参考文献
索引
《现代数学基础丛书》已出版书目
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绪论
--从矩阵的特征值到线性算子的谱理论
数学研究问题的基本方法是把问题数量化、简单化，用其数字特征来刻画问题的本源特性．但是专业的数学书籍给读者的第一印象往往都是抽象而难懂。我们认为：数学不应该成为一门让人费解的科学。
准确了解数学研究的原始动力（为什么要研究这样的问题，研究问题的来源和背景）是十分重要的，或者是说从一些简单的例子里，去掉数学词汇的抽象、数学定理的外饰，返璞归真是理解和学会数学基本方法。绪论拟从线性代数、数学分析和微分方程中的一些实例展开，引申、抽象出本书要研究的问题。只有从实例才能感悟数学，学会如何从问题中使用类比、联想等方法，归纳出一些基本的数学思想方法，进而去解决未知的问题。对最基本、最简单数学结构的感悟与理解是学会数学、学懂数学最为关键的一步。
本书的书名中有两个关键词，一是“线性算子”：二是“谱”，这两个词汇对于具有高等数学基础的读者来说可能是完全陌生的。绪论的内容将从这两个关键词展开。
通俗地说，线性算子就是一种线性运算，或者称之为“映射”，一个元素通过这种运算被转变成另一个元素，
运算始终是数学研究的基本对象。高等数学中研究的主要对象微分、积分、矩阵都可以看成是运箅，并且都是线性运算．即满足：其中A是n维空间中的线性变换（矩阵）。
一般地，把这样一些运算T（连同其定义的范围）称为算子，满足条件（0.1.1）的运算称为是线性算子，其中r（T）是T的定义域。
本书以线性变换、微分、积分这些具有线性性质的运算为应用背景，来研究线性算子的谱理论，“谱”正是反映这种运算本质的数字特征。对于n维空间中线性变换A来说，这个线性算子的“谱”实际上就是我们在线性代数中熟知的“特征值”。我们从下面的例子里来看矩阵的特征分解：
0.1.1有限维空间矩阵运算的特征值
例0.1.1设A是从到的对称矩阵，
其中
尽管矩阵中的数字很简单，但是我们从直观上并不能看出这个线性运算（线性变换）的运算特征。学过线性代数的读者知道，A的运算特征是由它的特征值来确定，并且：
（1）A是对称的线性变换；
（2）A的特征值是实的；
（3）A的属于不同特征值的特征向量相互正交；
（4）4可以化为对角矩阵。对称矩阵一定正交相似于一个对角矩阵。
具体做法为：
（i）求解-1是特征值．其中入=2是A的2重特征值，是单重特征值。
（ii）A=2时，求出其基础解系如下：
（iii）该基础解系不正交，将其单位正交化：
当A=-l时，求出其特征向量并单位化：
成为中的一组标准正交基．在这组标准正交基下，矩阵A成为对角矩阵，即：令，则
注1在新的坐标系下，线性变换4有最简单的标准型。
注2由于是A的特征向量，有
对于，在原来的正交下，其中
在空间构造一组新的正交基（它们是由对称矩阵A确定的，则其中是z在上的投影。
由于A是线性的，这说明，矩阵A酌特征值确定了一组正交基，对于任何的，只要知道z在上的投影，则A作用的方式一目了然，即
注3数学处理问题的原则是把复杂的问题简单化．在确定了特征值和特征向量以后，在每一个特征子空间上，A作用的形式是最简单的（放大、缩小特征值的倍数）。令P，P2，P3是在上的投影（算子），则（0.1.7）在这里．A分解成3个投影变换（算子）的线性组合。
0.1.2无穷维空间函数按坐标分解
高等数学研究的主要运算是微分、积分，它们作用的对象是函数．我们注意到，与瓞”空间中线性变换A相同，微分、积分运算都是线性运算，不同的是A把一个札维向量变成n（或m）维向量，而微（积）分把一个函数映射成另一个函数。
我们希望通过类比和联想，把有限维空间处理问题的这种方式，把矩阵运算的分解（0.1.6）和（0.1.7）类比地推广到微分、积分运算上．这是线性算子谱分析理论要研究和处理的问题。
但是我们同时注意到，函数一般来说不能用有限个数刻画f可能可以用无穷多个数刻画）。为了考虑算子的分解，首先要研究函数的分解，给出类似于（0.1.4）中向量的分解的形式．事实上在数学分析里我们已经有这样分解的例子：
例0.1.2（Taylor展开）如果函数满足很好的性质，则在它的收敛半径内，有即：函数可以和一个可数无穷数列一一对应，这和一个向量在n维空间的展开完全类似，区别在于）是“正交系”，
下面的我们熟知的Fourier展开就是一种在正交系中的展开。
例0.1.3Fourier级数其中f可以和这无穷数列一一对应。
类似于，在这个函数空间上定义内积（参阅1.1.2节例1.1.19）（0.1.11）空间中构成坐标系的函数列为且，即形成空间中的一组标准正交基．并且有，于是，这意味着，对于函数有为函数，在这个坐标系下的坐标，即
（1）我们在函数空间建立了一个正交坐标系；
（2）每一个函数在这个坐标系下和一组（可数多个）数一一对应，其中系数是，和的内积，即，（x）在ek上的投影。
与有限维的情况加以对照：在中，有
二者之间的区别是什么？是有限维空间，而函数空间是无穷维的．无穷维求和是一个极限过程。
（?）提示在无穷维空间，要考虑极限是不是存在．如果存在，极限的收敛是在什么意义下（即等号成立的意义）。
0.1.3Sturm-Liouville微分算子按特征分解
下面把无穷雏空间的线性算子（微分运算）与有限维空间的线性算子相对照，进而研究线性算子的谱分解问题。从例0.1.1可以看到，矩阵和一个正交系相对应，
特征值号特征向量
由它的特征向量产生一个正交坐标系
在这个正交坐标系下成为对角矩阵（0.1.18）
下面来看微分运算：
例0.1.4Sturm-Liouville问题
……
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