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| 編輯推薦： |
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《微积分》可以作为高等院校经济类、管理类、生物化材类等专业学生的微积分或高等数学教材，也可作为其他专业的学生、自学者及考研学生的阅读参考书.
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| 內容簡介： |
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《微积分》是按新时期大学数学教学大纲要求编写，内容丰富，理论严谨，思路清晰，例题典型，方法性强，注重分析解题思路与规律，并与现实问题紧密结合，对培养和提高学生的学习兴趣及分析问题和解决问题的能力将起到较大作用.《微积分》共分9章，内容涵盖了函数、极限与连续、导数与微分、微分中值定理与导数应用、不定积分、定积分及其应用、多元函数微分学、二重积分、无穷级数、微分方程与差分方程.
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| 目錄：
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目录
第1章函数？极限与连续1
1.1初等函数1
1.1.1邻域1
1.1.2函数的概念1
1.1.3函数的性质3
1.1.4反函数与复合函数4
1.1.5初等函数6
练习1.1 6
1.2数列的极限7
1.2.1数列极限的定义7
1.2.2数列极限的性质9
练习1.2 10
1.3函数的极限10
1.3.1x→∞时函数的极限10
1.3.2x→x0时函数的极限12
1.3.3函数极限的性质14
练习1.3 15
1.4无穷大与无穷小15
1.4.1无穷小量15
1.4.2无穷大量16
练习1.4 17
1.5极限的运算法则17
练习1.5 21
1.6极限存在准则两个重要极限21
1.6.1极限存在准则21
1.6.2两个重要极限23
练习1.6 25
1.7无穷小量的比较25
练习1.7 27
1.8函数的连续性27
1.8.1函数的连续性27
1.8.2间断点的分类28
1.8.3区间上的连续函数30
练习1.8 30
1.9连续函数的运算和初等函数的连续性30
1.9.1连续函数的和？差？积？商的连续性30
1.9.2反函数和复合函数的连续性31
1.9.3初等函数的连续性32
练习1.9 32
1.10闭区间上连续函数的性质33
1.10.1***小值定理33
1.10.2介值定理和零点定理33
练习1.10 34
1.11经济学中的常用函数35
1.11.1需求函数35
1.11.2供给函数36
1.11.3总成本函数？总收益函数？总利润函数36
总练习1 38
第2章导数和微分42
2.1导数的概念42
2.1.1引例42
2.1.2导数的定义43
2.1.3可导和连续的关系47
练习2.1 47
2.2导数的运算法则48
练习2.2 54
2.3高阶导数54
练习2.3 57
2.4隐函数与参数方程的导数58
2.4.1隐函数的导数58
2.4.2对数求导法59
2.4.3参数方程确定的函数的导数60
2.4.4相关变化率62
练习2.4 62
2.5函数的微分63
2.5.1微分的定义63
2.5.2可微与可导的关系64
2.5.3微分的几何意义65
2.5.4微分的运算法则65
2.5.5微分在近似计算中的应用67
练习2.5 68
2.6边际与弹性69
2.6.1边际概念69
2.6.2经济学中常见的边际函数69
2.6.4经济学中常见的弹性函数74
练习2.6 76
总练习2 76
第3章微分中值定理与导数的应用79
3.1微分中值定理79
3.1.1罗尔中值定理79
3.1.2拉格朗日中值定理80
3.1.3柯西中值定理82
练习3.1 82
3.2洛必达法则83
练习3.2 87
3.3泰勒公式88
练习3.3 91
3.4函数的单调性和曲线的凹凸性92
3.4.1函数的单调性92
3.4.2曲线的凹凸性和拐点93
练习3.4 95
3.5函数的极值和**小值96
3.5.1函数的极值96
3.5.2**值与*小值98
练习3.5 99
3.6函数图形的描绘100
3.6.1曲线的渐近线100
3.6.2函数作图102
练习3.6 103
总练习3 103
第4章不定积分108
4.1不定积分的概念与性质108
4.1.1原函数的概念108
4.1.2不定积分的概念109
4.1.3不定积分的性质110
练习4.1 113
4.2换元积分法114
4.2.1**类换元法硬凑微分法114
4.2.2第二类换元法真正的代换法119
练习4.2 123
4.3分部积分法124
练习4.3 129
4.4有理函数积分与简单的无理函数积分129
4.4.1有理函数的积分129
4.4.2简单的无理函数积分132
练习4.4 134
总练习4 134
第5章定积分及其应用138
5.1定积分的概念138
5.1.1引例138
5.1.2定积分的定义140
5.1.3定积分的几何意义141
练习5.1 143
5.2定积分的性质143
练习5.2 146
5.3微积分基本公式146
5.3.1引例146
5.3.2积分上限函数与导数147
5.3.3牛顿 莱布尼茨公式149
练习5.3 151
5.4定积分的换元积分法152
练习5.4 158
5.5定积分的分部积分法159
练习5.5 162
5.6反常积分与Γ函数162
5.6.1无穷限上的广义积分163
5.6.2无界函数的广义积分165
5.6.3Γ函数167
练习5.6 168
5.7定积分的几何应用168
5.7.1定积分的微元法169
5.7.2平面图形的面积170
5.7.3旋转体的体积173
5.7.4平行截面面积已知的立体的体积175
练习5.7 176
5.8定积分在经济分析中的应用176
5.8.3由边际函数求原经济函数176
5.8.4资本现值和投资问题179
练习5.8 180
总练习5 180
第6章多元函数微分学184
6.1空间解析几何知识简介184
6.1.1空间直角坐标系184
6.1.2空间两点间的距离186
6.1.3空间曲面及其方程186
练习6.1 190
6.2多元函数的基本概念190
6.2.1平面区域的概念190
6.2.2多元函数的概念191
6.2.3二元函数的几何意义192
6.2.4二元函数的极限193
6.2.5多元函数的连续性194
练习6.2 194
6.3偏导数195
6.3.1偏导数的定义及其计算方法195
6.3.2偏导数的几何意义与经济意义197
6.3.3高阶偏导数198
练习6.3 200
6.4全微分201
6.4.1全微分201
6.4.2全微分在近似计算中的应用203
练习6.4 204
6.5多元复合函数与隐函数的微分法204
6.5.1多元复合函数微分法链式法则204
6.5.2全微分形式的不变性208
6.5.3隐函数求导公式209
练习6.5 211
6.6多元函数的极值和*值211
6.6.1二元函数的极值211
6.6.2多元函数的**值与*小值213
6.6.3条件极值与拉格朗日乘数法214
练习6.6 216
总练习6 216
第7章二重积分220
7.1二重积分的概念与性质220
7.1.1二重积分的概念220
7.1.2二重积分的性质223
7.1.3利用对称性与奇偶性化简二重积分224
练习7.1 226
7.2在直角坐标系下计算二重积分227
7.2.1在直角坐标下计算二重积分227
7.2.2交换二次积分的积分顺序232
练习7.2 233
7.3在极坐标系下计算二重积分233
7.3.1在极坐标下计算二重积分233
练习7.3 238
总练习7 239
第8章无穷级数243
8.1常数项级数的概念与性质243
8.1.1常数项级数的概念243
8.1.2常数项级数的性质245
练习8.1 247
8.2正项级数248
练习8.2 253
8.3任意项级数的**收敛与条件收敛253
练习8.3 256
8.4泰勒级数与幂级数257
练习8.4 262
8.5函数展开成幂级数及其应用263
8.5.1直接展开法263
8.5.2间接展开法264
练习8.5 267
总练习8 267
第9章微分方程与差分方程271
9.1微分方程的基本概念271
练习9.1 273
9.2一阶微分方程274
9.2.1可分离变量的微分方程274
9.2.2齐次方程276
9.2.3一阶线性微分方程277
练习9.2 279
？ix？9.3可降阶的二阶微分方程280
9.3.1y″=fx型280
9.3.2y″=fx，y′型280
9.3.3y″=fy，y′型281
练习9.3 282
9.4二阶线性微分方程解的结构282
练习9.4 284
9.5二阶常系数线性微分方程的求解285
9.5.1二阶常系数齐次线性微分方程的通解285
9.5.2二阶常系数非齐次线性微分方程的通解288
9.5.3二阶常系数非齐次线性微分方程特解的又一求法——常数变易法292
练习9.5 293
9.6差分方程初步293
9.6.1差分的概念293
9.5.2差分方程的概念295
9.5.3常系数线性差分方程解的结构297
9.5.4一阶常系数线性差分方程的解法297
练习9.6 300
总练习9 301
附录I预备知识306
附录II基本初等函数的图形及主要性质310
附录III极坐标系313
附录IV积分表318
习题答案328
参考文献354
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| 內容試閱：
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第1章函数、极限与连续
初等数学研究的主要是不变的量（常量）而高等数学研究的是变动的量（变量）.函数时变量之间依赖关系的反映，是高等数学中*重要的基本概念之一，也是高等数学研究的主要对象.极限方法是研究变量的一种基本方法.本章将介绍函数、极限和函数连续性等基本概念以及它们的一些性质，并介绍一些经济学中常用函数．
1.1初等函数
1.1.1邻域
邻域是高等数学经常用到的概念.
设a6R，以a为中心的任何开区间称为a的邻域，记为.
设56R，50，以a为中心为半径的开区间（一5，a+？称为点a的5邻域，记为Ua，5即
有时需要把邻域的中心去掉.点a的5邻域去掉中心后，称为点a的5空心邻
域，记，即
把区间（一6a称为点a的左5空心邻域，记为U一（a，5，即
把区间（a，a+3称为点a的右）空心邻域，记为U+a，3，即
1.1.2函数的概念
定义1设z，：y是两个变量，D是给定的数集，如果对每一个x6D，按一定的对应法则，有**确定的数值^与之对应，称^是x的函数.记为^=U.x称为
自变量巧称为因变量，数集D称为这个函数的定义域，记为D，.变量y的变化范围称为函数fix的值域，记为Rf或fD.即
需要指出的是，记号f和fX的含义是不同的:前者表示自变量x和因变量y的对应法则，而后者表示x对应的函数值.通常函数是指对应法则f，但习惯上用y=fX表示函数.函数的自变量又称为“元”，只有一个自变量的函数称为一元函数.
从定义可以看出，函数的值域由函数的对应法则和定义域确定，因此确定一个函数有两个要素：定义域和对应法则.如果两个函数的定义域相同，对应法则也相同，那么这两个函数是相同的，否则就是不同.
函数的对应法则是多样的，但一般表示一个函数主要采用解析法公式法）、表格法和图像法，这在中学都介绍过了.在高等数学中还经常用到分段函数，即用几个式子表示一个函数.下面举几个分段函数的例子.
例1函数
的定义域是Df=一⑴，+⑴），值域Rf=[0，+⑴）
如图1-1所示，这个函数称为**值函数.
例2函数
的定义域是Df=一⑴，+⑴），值域R，={—1，0，1}.如图1-2所示，这个函数称为符号函数.
例3函数
y=[x]={不超过x的**整数}
0，值域Rf=Z.这个函数称为取整函数它的图形为
1.1.3函数的性质
1.函数的单调性
设函数X的定义域为D，区间ICD，如果对于区间I中任意两点X1和x2，当Ax2时，成立不等式Xx2，则称师在区间I为单调增加的图1-4，如果对于区间了中任意两点xi和x2，当xix2时，成立不等式xix2，则称x在区间I为单调减少的（图1-5，单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.
函数的单调性是局部的性质.例如，函数X=sinx在[0，|]上是单调增加的，在[U上是单调减少的，如图1-6所示.
2.函数的奇偶性
设函数x的定义域D关于原点对称.如果对于任意xGD，有—x=—x，则称x为奇函数如果对于任意x6D，有—x=x，则称x为偶函数.
例如x=x为偶函数，x=sgnx为奇函数.
奇函数图形关于原点对称，偶函数图形关于y轴对称.
3.函数的周期性
设函数x的定义域为D，如果存在正数使得对任意的xGD，有x+夕GD，且有x+p=x恒成立，则称x为周期函数，p称为fix的一个周期.通常我们称的周期是指*小正周期，但不是每个周期函数都有*小正周期.
例如，函数x=sinx以2n为周期；x=tanx以n为周期；函数x三C以任意正数为周期，没有*小正周期.
4.函数的有界性
设函数x的定义域为D，区间ICD，如果存在正数M，使得对于任意xGI，
都有|fKM，则称X在区间I上有界.如果这样的正数不存在，则称x在区间I上无界，即无论多么大的正数M，都存在^6I，使得|fO|M.
若存在h6R，使得对于任意x6了，都有fixh，则称fix在区间I上有上界，而h称为函数f.在区间I上的一个上界;若存在h6及，使得对于任意x6了，都有x^2，则称x在区间I上有下界，而k称为函数x在区间I上的一个下界.
关于函数的有界性，有结论成立：函数x在区间I上有界的充分必要条件是函数x在区间了上既有上界又有下界.
1.1.4反函数与复合函数
1.反函数
一般地，设函数y=fx的定义域为D，值域为及，对于任意的y6及，如果都存在**的x6D，使得fix=5，则在及上定义一个反函数，记为即
f1称为f的反函数.
反函数的实质是1，用什么字母表示反函数的自变量和因变量无关紧要.习惯上用x表示自变量，用y表示因变量，因此y=fx，x6Df的反函数x=f1y，y6Rf习惯上记为y=f1x，x6Rf.
函数与反函数之间有密切的关系.若在定义域D上单调增加（减少），则f的反函数1必定是存在，且厂1在定义域D上单调增加（减少）.事实上，不妨设在定义域D上单调增加，下面来证明厂1在定义域D上是单调增加的.
任取D且yi〈y2，由fx的单调性知，必存在**x!6D，，使得x1=y1.同理，必存在**x6D，，使得fix=y2.于是x1=f1y1，x2=厂1y2，下面证明x!〈x2.米用反证法.假设x!x2，即x!x2或x!=x2.若xix2，由于为单调增加，则必有xifx2，即yiy2，与条件y1〈y2矛盾；若xi=x2，由的单调性知，必有xi=fx2，即yi=y2，与条件yi〈y2矛盾.故必有xi〈工2，因此1在定义域fD上单调增加.
下面来研究反函数的图形.设y二fix，6Df有反函数y=1x，x6D，若点Ax，x是y=fx图形上的一点，则有Bx，x是y=厂1x图形上的一点，而点x，x与点（x，x关于直线y=x对称（图1-7，因而函数y=fix，6Df与它的反函数y=厂1x，x6fD的图形关于y=x对称.
2.复合函数
设函数y=jiu的定义域为，函数u=gx的定义域为Dg，且其值域尺g门D#0，则函数y=[gx]，xGDg称为由函数u=gx和y=u构成的复合函数，它的定义域Dg、变量u称为中间变量.
例如，函数y=u3的定义域是一⑶，+⑶）而函数u=cosx的值域为[一1，]C—⑵，+⑵）故这两个函数可构成复合函数y=cos3x.但函数y=lnu一3和函数u=sinx就不能构成复合函数，因函数u=sinx的值域[一1，]与y=lnu—3的定义域3，+⑵）的交集为空集，导致y=lnsinx—3的定义域为空集，故函数y=lnu—3和函数u=sinx就不能构成复合函数.
例4函数
解y=f[fx]是由y=p''u，u=fix复合而成的，当0，因而
例6设
1.1.5初等函数
在初等数学中已经学过以下五类函数.
幂函数.
指数函数反二角函数.
以上五类函数统称为基本初等函数，它们的图形与基本性质可以参考教材后附录II.由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次复合运算所得到
的能用一个式子表示的函数，统称为初等函数.例如，等都是初等函数.在本课程中讨论的函数绝大多数都是初等函数.
x为有理数，0，x为无理数，符号函数Sgnr，取整函数等.
练习1.1
1.求下列函数的定义域:
2.设
3.下列函数是否相同？为什么？
4.讨论下列函数的奇偶性
5.设下面所考虑的函数都是定义在区间上的，证明：
1两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；
2两个偶函数的积是偶函数，两个奇函数的积是偶函数，偶函数和奇函数的
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