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編輯推薦： 本书对机电系统设计和分析的主要方法进行了广泛、深入、系统的阐述。本书英文版包括50余个有完整解答的设计实例和380余幅插图，便于读者学习和研究机电系统设计的主要概念和方法。本书由Springer出版社2010年出版德文原版，2012年出版英文翻译版，已受到国际学术界的广泛好评。本书是一本关于机电系统设计和分析的权威著作，内容全面丰富，其中不少内容基于作者团队的*研究成果，有很强的创新。本书有很高的学术水准，对于许多应用领域的实际机电系统研发而言也是必备参考书。 內容簡介： Originally published in the German language： Systementwurf mechatronsicher Systeme by Klaus Janschek. Translation from the English language edition： Mechatronic Systems Design by Klaus Janschek Copyright ?h2012 SpringerVerlag Berlin Heidelberg. SpringerVerlag Berlin Heidelberg is a part of Springer Science Business Media. All Rights Reserved. 關於作者： Klaus Janschek 德国德累斯顿工业大学自动化研究所讲席教授、所长。1982年于奥地利格拉茨工业大学获工学博士学位，1982-1995年在德国戴姆勒奔驰等公司从事航天制导、导航与控制，疲劳与车辆测试系统等控制系统研发与管理工作，1995年至今任德国德累斯顿工业大学自动化研究所所长、自动化工程讲席教授。他的主要研究兴趣包括制导、导航与控制，系统设计，移动机器人，光学数据处理与光机电一体化，数据融合等。他现任国际自动控制联合会（IFAC）技术局成员及其机械电子学、机器人及元部件协调委员会（CC4）主席，曾任IFAC应用论文评奖委员会主席，德国研究基金会（DFG）自动化、控制系统与机器人领域科学顾问，德国测量与自动化学会（GMA）理事。他将任2020年IFAC世界大会主席，2005年至今任德国机械电子学大会程序委员会共同主席，曾任第4届IFAC机电系统会议IPC主席。张建华 华东理工大学自动化系教授，2005年于德国波鸿鲁尔大学获工学博士学位，师从德国国家工程院和北莱茵-威斯特法伦科学院双院士Johann F. Boehme教授。2005-2006年在英国谢菲尔德大学任博士后副研究员，合作导师为英国皇家工程院院士Derek A. Linkens教授等。2007年引进回国任华东理工大学自动化系教授和博士生导师。2011，2012，2014，2015年应邀赴德国柏林工业大学和马普复杂技术系统动力学研究所做客座教授或高级研究学者。现任国际自动控制联合会（IFAC）人机系统、复杂大系统、生物与医学系统、交通系统四个技术委员会委员，曾任13th IFAC Symp. on Complex Large-Scale Systems 的IPC副主席, 19th IFAC World Congress的技术副编辑，13th IFAC Symp. on Analysis, Design and Evaluation of Human-Machine Systems的IPC共同主席。2011年获德国马普学会高级研究基金，2007年入选上海市浦江人才计划，2002-04年获德意志学术交流中心（DAAD）奖学金。主要研究兴趣包括计算智能，机器学习与智能数据分析，生物系统的建模与控制，生物医学信号处理，人机系统，脑机交互，神经工效学等。至今在IEEE T-HMS, IEEE T-BME，IEEE T-CBB等重要学术期刊和会议上发表论文110余篇。 目錄： 目录 译者引言 第1章绪论 1.1机电一体化与机电一体化系统 1.2系统设计 1.3基本实例 1.3.1具有自适应光学的望远镜 1.3.2光机电遥感相机 1.4本书内容简介 本章参考书目 第2章建模基础 2.1系统工程背景 2.2具有结构化分析的系统建模 2.2.1定义 2.2.2顺序原则 2.2.3结构化分析的建模要素 2.2.4产品实例： 自动调焦照相机 2.2.5其他建模方法 2.3机电系统建模范式 2.3.1广义功率与能量 2.3.2基于能量的建模： 拉格朗日形式化 2.3.3基于能量的建模： 汉密尔顿方程 2.3.4多端口建模： 基尔霍夫网络 2.3.5多端口建模： 键合图 2.3.6能量多端口建模： 端口汉密尔顿系统 2.3.7信号耦合网络 2.3.8模型的因果性 2.3.9机电系统的模块化建模 2.4微分代数方程组 2.4.1DAE系统简介 2.4.2DAE指标检验 2.4.3DAE指标约简 2.5混杂系统 2.5.1混杂系统的一般结构 2.5.2混杂现象 2.5.3网络状态模型 2.6线性系统模型 2.6.1非线性状态空间模型的局部线性化 2.6.2非线性DAE系统的局部线性化 2.6.3LTI系统的传递函数与频率响应 2.7频率响应的实验确定 2.7.1一般考虑 2.7.2方法 2.7.3通过噪声激励的频率响应测量 本章参考文献 第3章仿真问题 3.1系统工程背景 3.2数值积分的基础 3.2.1微分方程的数值积分 3.2.2稳定性的概念 3.2.3数值稳定性 3.3刚性系统 3.4弱阻尼系统 3.5高阶线性系统 3.5.1通用的数值积分方法 3.5.2通过状态转移矩阵的求解方法 3.5.3仿真解的精度 3.6DAE系统的数值积分 3.6.1显式积分法 3.6.2隐式积分法 3.6.3指标2系统的量化 3.6.4具有一致性的初值 3.7混杂现象仿真的实现方法 3.7.1不连续性的处理 3.7.2事件检测 3.8仿真实例： 理想单摆 本章参考书目 第4章功能实现： 多体动力学 4.1系统工程背景 4.2多体系统 4.3物理学基础 4.3.1运动学与动力学 4.3.2刚体 4.3.3自由度与约束 4.4多体系统的时域模型 4.4.1系统设计中的模型层次 4.4.2多体系统运动方程 4.4.3MBS状态空间模型 4.5固有振荡 4.5.1守恒多体系统的特征值问题 4.5.2特征模态（本征模，Eigenmodes） 4.5.3耗能多体系统 4.6频域响应特性 4.7测量与驱动位置 4.7.1一般的多质体振荡器 4.7.2多质体振荡器的零点 4.7.3同位测量与驱动 4.7.4非同位测量与驱动 4.7.5反谐振 4.7.6MBS零点迁移 本章参考书目 第5章功能实现： 通用机电变送器 5.1系统工程背景 5.2一般的通用变送器模型 5.2.1系统配置 5.2.2建模方法 5.3无负载通用变送器 5.3.1基于能量的模型 5.3.2ELM变送器本构方程 5.3.3ELM二端口模型 5.4负载通用变送器 5.4.1基于能量的模型 5.4.2非线性运动方程 5.4.3平衡点位置： 工作点 5.4.4基于信号的变送器线性模型 5.4.5传递矩阵 5.4.6关于响应特性的讨论 5.5有损变送器 5.5.1变送器的一般特性 5.5.2非线性模型： 平衡点位置 5.5.3基于信号的线性模型 5.5.4带有耗能电阻的二端口本构方程 5.5.5线性动态分析 5.5.6一般的阻抗与导纳反馈 5.6机电耦合系数 5.6.1一般意义与特性 5.6.2计算ELM耦合系数的模型 5.6.3关于ELM耦合系数的讨论 5.7带多体负载的变送器 5.7.1频率响应 5.7.2阻抗反馈与导纳反馈 5.8机电谐振器 5.9机电振动发电 5.10自传感执行器 5.10.1工作原理 5.10.2基于信号的自传感解决方案 5.10.3模电自传感解决方案 本章参考书目 中英文术语翻译对照表 內容試閱： 中 文 版 序 这是2010年和2012年分别由Springer出版社出版的《机电系统设计》德文和英译版的中译本。关于本书写作的动机、背景以及构想，感兴趣的读者可以参考德文版的序言。读者将会发现，本书的主要目标是从建模的观点出发，提供关于机电一体化的全面、系统观点，从而使读者能依据严格的物理和数学观点理解基本概念和设计解决方案。这本专著与很多其他同类书籍相比的特色在于不同章节和主题之间（从建模与仿真直至控制器设计与系统性能评价方法）统一的数学、物理以及建模概念。这本教材可以用作学习技术系统抽象模型严格处理的参考书。这也是我构建本书包括的许多主题背后的逻辑的一种教学训练。我非常希望尊敬的读者认识和欣赏这些目标。我目前将本书用作德累斯顿工业大学本科生和研究生课程以及其他大学（例如，西班牙Malga大学、巴西圣卡塔琳娜大学、中国的华东理工大学等）短期研究生课程的基本参考书。有趣的是，至今参加我的机电一体化课程的相当一部分学生来自中国（特别是在德累斯顿工业大学与华东理工大学）。除了理解机电一体化课程的一般工程专业障碍之外，他们还必须应对德语或英语的语言障碍。当我开始写德语版时，从未梦想和期待的是： 现在该中译本为许许多多的中国学生提供了直接用中文了解我对机电一体化的理解和思想的途径。这是一个多么大的进步和伟大视角啊！该中译本成为现实完全归功于华东理工大学的张建华教授。我深深感谢张教授启动、执行并成功完成了这个富有挑战性的项目。当2002年张教授在德累斯顿工业大学我的自动化研究所从事一年客座研究期间，我们就彼此相识了。2012年他邀请我为华东理工大学客座教授，第一次为他的学生们介绍我对于机电一体化的观点。当张教授提出富有挑战性的想法，想将我的书翻译成中文，使人数众多的科学界不再有任何语言障碍地直接理解我的书时，我感到十分荣幸。作为一个西方人，中文（特别是使用那些艺术性的文字和符号的书面语）对于我是很神秘的，我也羡慕中国人除了其主要专业外还是熟练的艺术家。现在张教授成功完成了中译本，这是一个多么伟大的时刻和多么漂亮的成果啊！看到这项成果时，我感激难言，同时又感到有点无助： 机电一体化第一次对于我是如此神秘！但再看一眼之后，我便恢复了自信，因为我还可以清楚认出那些图形和数学模型，它们不因语言的不同而变化，事实上它们是工程师的国际语言。由于张教授所做的极佳工作，我非常希望解释性文字有助于中文读者理解模型背后的思想和概念，并探索有趣的机电一体化领域。最后但同样很重要的是，我非常感谢本书的出版社。首先，感谢Springer出版社以建设性的方式安排版权问题。其次，特别感谢清华大学出版社对该项目的信任和对出版事宜的极佳管理。 Klaus Janschek2016年7月，德累斯顿 译者序本书全面、系统、深入地阐述了基于模型的机电系统设计方法，讨论了机电系统设计的诸多关键问题，主要内容包括： 与领域无关的建模与性能分析方法，多域建模（基于能量、端口或者信号），仿真（ODEDAE混杂系统），鲁棒控制方法，随机动态分析以及基于系统预算的设计定量评价。本书英文版共计805页，包括380余幅插图，给出的50余个设计示例（均有完整解答）不仅清晰说明了机电系统设计的基本方法和概念，而且便于读者自学这些概念和方法。本书由Springer出版社2010年出版德文原版，2012年出版英文翻译版，已受到国际学术界广泛好评。考虑到原书篇幅较长，中译本分为内容相对独立的两本：《机电系统设计方法、模型及概念： 建模、仿真及实现基础》（原书第1~5章，以下简称建模与仿真篇）和《机电系统设计方法、模型及概念： 实现、控制及分析》（原书第6~12章和附录，以下简称控制与分析篇）。译者认为，这是关于机电系统设计和分析的一本不可多得的权威著作，有很高的学术水准，内容全面丰富。书中不少内容基于作者研究组的最新研究成果，有很强的创新。例如，基于通用机电变送器建模（建模与仿真篇第5章），给出了静电（控制与分析篇第6章）、压电（控制与分析篇第7章）、电磁以及电动力变送器（控制与分析篇第8章）的形式化描述。建模与仿真篇第5章介绍的通用机电变送器模型框架为一般了解电力耦合变送器的原理以及不同类型变送器物理原理的表示提供了方法论。与其他同类书籍相比，这种具有广泛适用性的模型表示是全新的。本书还使用解析动态模型实现了许多物理与技术领域的机电一体化功能，例如多体动力学（建模与仿真篇第4章）、电磁动作变送器（控制与分析篇第8章）以及数字信息处理（控制与分析篇第9章）。本书是Klaus Janschek教授在多年讲授的自动化专业主干课程建模与仿真和机电一体化系统的基础上写成的。Janschek教授是自动化工程与机电系统领域国际著名专家，在航天制导、导航与控制等自动化领域取得了突出科研成就。他曾在德国戴姆勒奔驰公司从事航天机电系统研发10余年，1995年至今任德国德累斯顿工业大学自动化研究所所长、自动化工程讲席教授，既有精深的理论水平，也有丰富的实际系统研发经验。译者在德国攻读博士学位期间，20022003年在Janschek教授的自动化研究所任Gast Wissenschaftler客座科学家一年，在他的指导下从事脑电信号处理的研究，敬服这位国际知名自动化专家的丰富理论与实际经验以及独到的应用问题分析和解决思路。14年来，我们之间的学术交往一直不断。特别是我2007年从英国引进回国到华东理工大学任教授以来，我们的学术交流更加密切。Janschek教授2012年6月被聘为华东理工大学客座教授，以后多次应邀来我校讲学。2008年以来我五次应邀去德国柏林工业大学做访问教授，期间都会专程从柏林到德累斯顿为他的研究所师生做学术讲座。Janschek教授2012年9月首次来我校讲学时，将该书英文版赠送于我和我校图书馆。认真阅读该书之后，我产生了将其译成中文的想法，主要目的是想将Janschek教授关于机电系统设计与分析的思想与方法完整介绍给国内读者，使得国内机电一体化领域的广大研究生、科研以及技术人员全面了解和掌握书中阐述的一系列重要概念和方法。出版中文翻译版的设想一开始就得到了Janschek教授的热情鼓励和支持，以及清华大学出版社的积极回应，因而就顺利启动了该书的中译工作。本书的一个突出特色是理论方法和实际应用的紧密结合，对于许多应用领域的实际机电系统研发而言是必备参考书。目前国内机电一体化专业教学面临一个窘境，学生往往缺乏应有的机电过程或系统知识基础（如工业或航天系统的原理和背景知识），很难深入进行机电系统设计与分析，而独立设置这些应用类课程，对自动化和机械工程等专业又不实际。Janschek教授在这本专著中对许多机电系统建模、控制及分析实例所需的背景知识进行了全面讲述，读者无须另外参考有关应用系统的专门书籍，这也构成了该书的另一个特色系统性和自足性。本书可用作电气工程、机械工程、机电一体化、计算机科学、控制科学与工程、机器人学、自动化、信号与信息处理等专业高年级本科生、研究生的教材或主要参考书，也适于机电一体化领域（如汽车工程、铁道工程、航海工程、航天、自动化、机床、机器人、医疗设备、微系统等）的科研或工程技术人员参阅。对于从事机电系统教学的教师来说，即使你可能欠缺实际的机电一体化系统研发经验，参考本书也会使你取得更好的教学效果。对于在机电系统控制与分析问题上遇到疑难的机电系统研发工程师而言，本书是一本极佳的参考手册，从中可直接获得解决实际应用问题所需的最重要基础知识、理论及方法，尤其会对不同技术领域的机电系统建模与控制问题带来有益的启发。古人云处处留心皆学问，对于有心的读者，本书论述的每条机电系统设计的定性法则或经验也都可能发展出更严格的理论或数学分析。本人翻译了第1~5章和第9~12章，并负责全书统稿和校对，包括专业术语和语言风格的统一及少量注解。我指导的三位博士生杨少增（2014年夏毕业）、尹钟（2015年夏毕业）和夏家骏协助进行了第6~8章的初译和校对工作，在此向他们表示诚挚感谢。特别感谢本书责任编辑清华大学出版社电子信息事业部主任梁颖先生，他一直鼓励和支持译者完成这个艰巨的翻译项目。在本书翻译过程中，译者和作者Janschek教授一直保持Email沟通，他的高度信任以及热情鼓励、期盼和支持是我在合理时间内完成这本译著的最大动力。为了忠于原文，保证对原著技术内容的精准理解和传达，并考虑到本书许多内容的跨学科（数学、物理、电子工程、机械工程、控制系统、信号处理、航天、材料等）性质，中文译本以直译为主。对于有些较难或需要精准理解的术语，同时给出了中译和英文原文，供读者交叉参照。最后，限于译者水平和时间，中译本中可能存在错误纰漏之处，敬请有关专家和读者批评指正。译者张建华于华东理工大学2016年4月 2012年9月本书作者Janschek教授来华东理工大学访问时给译者的赠书留言： 对我尊敬的同事张建华教授致以最良好的祝愿，Klaus Janschek 2012年9月12日于上海 英文版序 这是2010年1月由Springer出版社出版的《机电系统设计》一书的英译本。关于本书的动机、背景以及概念阐述，读者可以参考德文原版的序。在准备德文版以及进行该领域的大量文献调研过程中，我认识到在国际机电一体化领域，仍有不少内容需要这本专著来阐述。而且，很多同事和学生对德文版的积极评价促使我考虑准备其英文版。我从一开始就清楚，只有通过母语为英文且具有广泛良好工程学知识（特别是机电一体化知识）的人的翻译支持，这个项目才能成功。幸运的是，我以前在斯坦福大学航天机器人实验室的访问经历使我得以认识最好的合作伙伴Kristof Richmond博士。Richmond博士是母语为英文并精通德文的斯坦福大学优秀毕业生，也是有高度智慧和批判精神的学术伙伴，他具有我并不期望在一个人身上发现的全部才能。因此，英文版的合作极其顺利，双方都感觉很充实，而且在互联网和Skype时代，这种合作并未受德国与美国之间大西洋的阻隔。我非常感谢Kristof的这项伟大工作。英文版涵盖了德文版的全部内容，但在表述上做了小的改善，并更新了英文参考书目，也有机会纠正德文版中的一些错误。关于对本书反映的所有材料的致谢，读者可以参考德文版的序。但是，对于英文版我还需要感谢两个人。首先感谢我的爱妻Ruth，她以极佳的不断鼓励心态支持并陪伴我第二次爬山远征（幸运的是，这次的山峰远比前次的低，参见德文版的序）。我也感谢并怀念Martin Beck，他于2011年2月在即将取得博士学位前不幸离世。他是我最有才干的博士生之一，也是我讲授机电一体化课程的最密切助手，他对本书的主要贡献包括对本书原始素材的批评性校对，合理的批判性技术与学术讨论以及对改进本书教学表述的诸多建议。他的精神体现在英文版的字里行间。最后，如果没有以Eva HestermannBeyerle为代表的Springer出版团队的宝贵支持、信任以及优质服务，光有前面提及的努力也不会产生本书。 2011年6月，德累斯顿Klaus Janschek 德文版序 动机为什么要出版另一本机电一体化的书？为什么本书如此大部头，并有这么多描述性文字？在开始写这本书时，我已经回答了第一个问题，原因是我想再当一次学徒，由此形成了我完成本书的动机，那时当然还不能猜测其涵盖的范围。在写作过程中，才出现了第二个问题，依据不要将任何东西隐藏在字里行间和公式中的范式，我倾向于使用更多的文字阐述。现在讲述一下我的学徒故事。我在格拉茨工业大学（TU Graz）电气工程专业学习时，打下了数学与自然科学的坚实基础（这对于一所大学的工程学课程当然是应该期待的）。控制理论专业学习及此后的博士学位攻读为我揭开了系统及面向系统的解决方案的视角。此后的机械工程与航天开发工程师的学徒身份将我引入了以前学习中从未涉足的一个应用领域复杂非纯一（或异构）系统，如今也称为机电一体化系统。我成功地涉足该领域可能得益于两件事： 一是大学教育提供的宽广基础，二是面向系统的问题求解方法。这些年的学徒生涯除了使我获得对于富有挑战性的新应用的极佳经验之外，也形成了一个重要认识必须学会将教育获得的众多方法恰当结合起来。当然，找到正确的路常常是工程师自己的事，但是乐于助人、经验丰富的导师（很幸运，我有很多这样的导师）会使这一过程变得更容易。在整个过程中，我经常思考作为研发工程师的我所期望的是什么这一问题，至今仍保留在我的脑海中。1995年以来在德累斯顿工业大学做学术学徒译者注： 这是自谦之词，作者1995年起任德累斯顿工业大学自动化工程讲席教授和自动化研究所所长。期间，我有机会将对于作为一名研发工程师，我的学习和研究期待的是什么？这一问题的经验传授给工程学生（除了电气与机械工程的经典课程外，也包括部分机电一体化跨学科专业）。这样一来，我的个人教学环路得以闭合（或者更确切地说，我的教与学环路得以闭合），因为教与个人自学紧密相关。这本书的成形源于多年来我讲授的主干课程建模与仿真和机电一体化系统。然而，最后我发现，在一门学时有限的课程中，将复杂异构系统问题求解知识传授给学生的愿望只能近似实现。讲授基本方法和概念及其简单应用例子是比较容易的，但是在有限的课时中并不能做到更广、更深的技术处理。通过引用更多的科技论著（但很少注解）来补充过于简单的课程大纲，并不能使学生和教师满意。这些原因促使我最终考虑再当学徒，其结果将体现在本书中。首先，简要阐明本书的基本结构。方法、模型、概念现在说明一下本书副标题方法、模型及概念的起源。模型： 基于自己的职业经验，我意识到模型在系统开发中的极端重要性。航天应用（例如航天飞机的轨道与姿态控制、高精度定向及仪表主动隔振）处理的是复杂非纯一系统，在如今的观念中，这些系统是机电一体化系统的最佳代表。显然，这些系统的开发和测试往往是基于模型的。系统测试与可靠的行为投射（预测）主要是基于预测模型。因此，基于模型的系统开发与设计意味着模型的使用。有趣的是，近年来，基于模型的开发方法也出现在很多地面（非航天）应用（如汽车工业）中，两者同时构成了机电一体化工业中系统开发的发展现状和动态。方法： 为了得到可信的基于模型的行为预测，模型和动态分析必须建立在合理的基础上。系统设计要求恰当的建模方法和全面的整体系统（由非纯一的子系统组成）动态分析方法。因此，我们特别追求的是那些方法，它们能够提供清晰、可靠且易于检验的动态预测，从项目早期阶段的可行性预测以至对计算机辅助设计过程所得结果的检验（永远不要轻信计算机）。概念： 顾名思义，系统设计包含高度创造性的活动。在系统设计中，有很多宝贵机会来利用可用的设计自由度，直至这些自由度的条件和边界已知。一本专著肯定不可能提供这种意义下的全部资料和观点，但是本书尽可能尝试有选择地给出一些得到成功应用的物理结构和求解概念，以使读者形成自己解决方法的核心思路。基于面向方法的概念和思路，本书基于数学模型阐述了很多专题，并揭示了不同概念的量化评估方法。 本书尝试在同一个框架下系统、自洽地阐述机电系统的重要建模、分析及设计方法。致谢路径即为目标，即使最初的目标似乎是清晰描述的。与登山一样，找到正确的路径、追随它并最终到达原来的目标需要一个可信的登山绳队（rope team），这里我要衷心感谢他们（登山队队员）。首先，感谢我的家庭，特别是我的妻子Ruth JanschekSchlesinger（哲学）博士。在这个登顶尝试期间，她以极大的理解和坚强的精神支持陪伴我。我特别高兴的是，我们数十年的伴侣关系也产生了相互之间的职业协同。例如，她成功地将面向系统的问题求解方法集成到艺术治疗与监督任务中，而且她自发、艺术性、打破边界的视野也开阔了我的眼界。诚挚感谢我的同事德累斯顿工业大学Helmut Bischoff教授、Kurt Reinschke教授以及德累斯顿Fraunhofer集成电路研究所设计自动化部Peter Schwarz工学博士的许多技术讨论和鼓励。八百多页的手稿当然会包括一些危险的陷阱和绊脚石。特别感谢我的助手Dipl.Ing. Martin Beck19782011年。（他多次校稿，因而需要特别致谢）, 讲师Annerose Braune工学博士, Eckart Giebler工学博士, Dipl.Ing. Sylvia Horn, Dipl.Ing. Thomas Kaden, Dipl.Ing. Evelina Koycheva, Dipl.Ing. Arne Sonnenburg及Dipl.Ing. Edgar Zaunick对我的手稿所做的仔细、知识渊博的校对和合理的修改建议。我也感谢我的研究团队的其他成员，此项目占用了我不少时间，他们一直都表示理解。我也衷心感谢Petra Moege女士，她的尽责和技能使我能在最近两年不受管理事务的干扰，为本项目成功创造了前提条件。我诚挚感谢Springer出版社成员的精诚合作，他们周详考虑和处理了本书的内容和进度计划。 Klaus Janschek 2009年10月，德累斯顿 第3章仿 真 问 题背景： 对动态系统模型的实验是系统设计的标准任务之一，这种仿真结果为有深远影响的设计决策奠定了基础。如今，（商用）计算机辅助工具一般提供建模与仿真平台，因而经常使用预先存在的模型库。但是，在这个极端重要的设计阶段，计算机化的仿真模型与用户（极端情况下用户可能是很天真的）经常存在危险的理解差距。在不利情况下，这很容易导致有缺陷的仿真结果。因此，尤其在采用现代仿真工具时，胜任的系统工程师必须了解仿真实现与求解方法的特殊性。系统工程师只有具备这些知识，才有可能识别出潜在的问题并采用合适的措施缓解问题，要么是改进模型，要么采用可用仿真器功能的目标选择与参数化： 欣赏但觉察地使用工具（using the tool with appreciation and awareness）。本章内容： 本章讨论仿真实验的数学模型实现的特定方面以及关于机电系统模型的特殊问题与求解方法。在此范围内，假设读者已具备数值积分与一般仿真方法的基础知识。在简要讨论数值稳定性、积分步长的重要影响以及不同积分方法的性质之后，本章将介绍多体系统（表现为具有明显特征模态和弱以至无阻尼特征模态的刚性系统结构）仿真的典型问题与求解方法。对于线性高阶多体模型（例如通过有限元方法产生的那些模型），介绍了使用状态转移矩阵的高效并精确的积分步骤。应用基本概念阐明了微分代数方程（DAE）系统的非平凡（nontrivial）数值积分与混杂现象的处理。最后，通过一个实例说明DAE系统的闭式（closedform）建模及其仿真实现。3.1系统工程背景建模与仿真 系统设计（基于模型的设计）包含两个紧密交织的任务： 建模与对模型的实验（仿真）。从图2.3可以清楚看出，仿真结果的预测能力（即其在多大程度上代表了实际系统的行为）取决于建模误差与仿真误差之和。特定类型模型的选择决定了仿真任务的难度以及最终的仿真误差。与通过面向对象建模获得的高冗余DAE系统相比，采用最小坐标的常微分方程组形式的简洁模型更易实现和计算。所以，总是需要对建模工作量、期望的模型精度以及仿真所需的工作量三者进行折衷考虑。计算机辅助仿真与计算机辅助建模一起，现代设计工具使我们能够几乎毫不费力地进行仿真实验。这种便利性当然是用户所期望的。但是，若所考虑的模型具有某些不良性质时，现代设计工具会隐藏巨大的危险性。尽管事实上好的计算机工具有很多内置的主要功能正常性检查（sanity checks），但一个有缺陷的求解算法参数化就可能导致完全错误的仿真结果。在特别有害的情况下（如复杂模型）很难检测出这些错误。计算机辅助工具通常仅检查模型的句法和参数以及实验参数。原则上模型的语义仍未被监测，因而可能是一个潜在的错误来源。仿真工具的妙用本章将特别关注常微分方程组与DAE系统数值求解方法的语义，即求解算法（数值积分方法）及其重要参数（步长、阶次等）的意义。这些背景的目的是使我们能够在行地选用在当前的商用计算机工具中实现的那些常用方法。预备知识假设读者熟悉数值积分的基本概念（例如，显式与隐式法、单步与多步法、龙格库塔法、基于误差监控的自适应步长等），推荐需要更新或复习有关基础知识的读者参考数值分析领域的有关文献（例如，Faires、Burden 2002）。关于直接适合动态系统仿真的方法，可以参见专著（Cellier、Kofman 2006。3.2数值积分的基础3.2.1微分方程的数值积分仿真实验 为了进行计算机辅助仿真实验，需要基于内在的数学模型计算感兴趣系统变量的近似解。于是，可以认为在对数学模型进行仿真。 为此，首先考虑如下具有单输入ut和单输出yt的普通非线性状态空间模型（见图3.1）该模型是一个指标为0的DAE系统（参见2.4节）。3.6节将讨论高指标DAE系统的求解。： x=f～x,u,t（3.1） y=g～x,u,t（3.2） 图3.1单输入单输出（SISO）动态系统的状态空间模型 当对上述系统进行仿真时，一般关心的是在有限时间区间［t0,tf］内解xt或yt随时间变化情况。在这种情况下，可以假设输入ut在［t0,tf］内的变化情况是已知的。为了采用式（3.2）计算输出yt，只需要确定n个一阶微分方程组（3.1）在时间区间［t0,tf］的解xt。 给定上述假设条件，可以提出如下微分方程的数值积分这一基本问题： 找到如下常微分方程组的解xt的近似x^t假设向量场f是光滑的。若f存在不连续性（例如，输入激励函数或状态变量xt存在阶跃变化），则须作出特别规定，见3.7节。 x=fx,t,xt0=x0Rn（3.3） 单步法： 显式与隐式使用微分方程（3.3）的差分近似或相应的积分方程，可获得方程（3.3）的近似解（即有限个值x^tk）。然后，为了只根据上次计算值x^tk来计算新的近似值x^tk 1，采用单步法可得下列的一般递推关系式： x^tk 1=x^tk hx^tk,x^tk 1,tk,h（3.4） 其中，为增量函数，h为步长。若增量函数不依赖于x^tk 1，则称该方法为显式（如欧拉法、龙格库塔法），否则称其为隐式（如梯形法）（Faires、Burden 2002）。增量函数与步长h的不同选择决定了近似精度（图3.2）。 图3.2数值积分： 微分方程的近似解 3.2.2稳定性的概念定义3.1局部离散化误差： 在tk 1时刻显式单步法对于隐式法和多步法等其他方法，LDE也可以类似地定义。的局部离散化误差（LDE）是下面的值： dk 1∶={xtk 1－xtk}－hxtk,tk,h 上式右端第一项为真实解的单步变化，第二项为应用积分算法后相对于真实解xtk的单步变化。LDEdk 1表示积分方法与真实解在单步上的偏差。因此，LDE衡量方程（3.4）给出的解与真实解xtk接近的程度。定义3.2全局离散化误差： 在固定时刻tk的全局离散化误差（GDE）是下面的值： gk∶=xtk－x^tk 因而，GDEgi表示近似解x^tk与真实解xtk之间的偏差，而且特别包含所有以前k步（j=0,1,,k－1）的累积误差（LDE与GDE）。定义3.3一致性： 求解初值问题的数值积分方法被称为一致的，如果在步长趋于0时局部离散化误差之和RLDE也趋于0，即有下面的条件： limh01hRLDE=0 定义3.4收敛性： 求解初值问题的数值积分方法被称为收敛的，如果当步长趋于0时全局离散化误差在整个积分区间上也趋于0，即有下面的条件： limh0x^k－xk=limh0gk=0,k, i.e. t［t0,tf］ 稳定性需要区分下列类型的稳定性：系统模型的固有稳定性所使用的稳定性概念包括输入输出稳定性（如BIBO稳定性）或（渐近）状态稳定性（Ogata 2010）。如果系统模型在上述意义下稳定，则称系统是（固有）稳定的。积分算法的数值稳定性求解初值问题的数值积分方法被称为是数值稳定的，如果被积值x^k的微小误差也只在此后计算x^k 1时产生微小误差（即有足够的误差抑制）（Faires，Burden 2002）。给定以上定义，于是有下面的基本定理：定理3.1一个数值积分方法是收敛的，当且仅当其是一致的并是数值稳定的。所以，收敛性、一致性与数值稳定性紧密联系在一起，这些性质是执行仿真实验的基本性质。尽管商品仿真工具一般将大量具有一致性的积分方法作为内置功能（单单如此甚至也是有意义的！），但是会得到收敛的近似解并非定论（虽然从合理的仿真实验中所期望的一样也不少！）。根据定理3.1，数值稳定性也是必须的，这基本上取决于步长h。若缺乏对h作用与影响的了解，作为一个可自由选择的仿真参数，h也可能被错误地任意设定（见3.2.3节）。显然，为了获得高精度的近似解，步长h应当选择得尽可能小。另一方面，对于一个固定的积分区间，这会增大计算需求（更多次的递推），为了快速计算而希望取更大可能的步长。所以，在任何具体情况下，选择积分步长h时总需要在精度与计算负荷之间做出折中。3.2.3数值稳定性线性测试系统： 初值问题 一个数值积分过程可表达为由一组非线性差分方程组表示的离散时间动态系统。这使得我们能采用熟知的稳定性概念和判据来分析其数值稳定性。为了讨论，考虑如下的线性（固有稳定的）测试初值问题： x=x,其中x0=x0,0都会导致稳定的积分算法（这是对于常微分方程刚性系统的一个明显优势，见3.3节）。 图3.4龙格库塔法的稳定域（Potthoff 2003） 表3.2龙格库塔法的实稳定区间（参见图3.4） p阶12345实h的区间［-2.0，0］［-2.0，0］［-2.51，0］［-2.78，0］［-3.21，0］ 3.3刚性系统技术背景 图3.5k2k1情况下的刚性多体系统 实际工程系统的复杂模型的一般特征是组成子系统的时间常数相差很大。这种系统被称作刚性系统。 可以用多体系统来说明这个概念。图3.5描绘了一个具有不同弹簧常量的双质体系统。刚度更大的弹簧k2导致波幅更大的谐振频率2，对应于纯虚数特征值2=j2。等价地，大幅度的实数特征值（或小的时间常数）也被称作刚性的。局部线性化： 雅可比矩阵在形如下式的非线性系统描述的情况下： xt=fx,t 通过xtk附近的轨迹局部线性化可导出在固定时刻tk（在时间区间［tk,tk h］上近似）系统动态特性的定量描述。为此，考虑雅可比矩阵J： Jtk=f1x1f1x2f1xnf2x1f2x2f2xnfnx1fnx1fnxnt=tk,x=xtk 刚度Jtk的特征值jj=1,,n描述了系统在tk时刻的动态特性。系统的刚度S由下面的商来表征： S=max|j|min|j|,j=1,,n 对于刚性系统S1。线性测试系统： 不同方法的比较对于这些比较，考虑下列线性系统： x=Ax,x0=x0  中点法（MIP）（阶次p=2）k1=Ax^ik2=Ax^k h2Ax^kx^k 1=x^k hAx^k h2A2x^k=I hA h22A2x^k=MIPx^k 梯形法（TRA）（阶次p=2）x^k 1=x^k h2Ax^k Ax^k 1x^k 1=I－h2A－1I h2Ax^k=TRAx^k对于A为对角阵的特例（如果使用模态变换，是可能的），对于二阶系统有： A=1002,12为系统特征值 MIP=1 h1 h221001 h2 h222 TRA=1 h211－h21001 h221－h22 为了保证数值稳定性，应该这样选取步长h，使得矩阵MIP和TRA的所有对角线元素的模都小于1（参见绝对稳定性）。所以，对于显式MIP方法，最大模特征值2（解的最快速分量）决定了步长大小。在刚性系统中，也必须使用这个小步长对余下的慢分量（1）进行积分。显然，这样做的代价是降低了计算速度。这里隐式TRA方法的优点是明显的，因为选择较大的步长虽然增大了快分量的误差，但是一般能保证积分的绝对稳定性。例3.2刚性二阶系统 Gs=YsUs=11 sa11 sa2=a1a2s2 a1 a2s a1a2 状态空间模型x=01－a1a2－a1 a2x 01u y=（a1a20x特征值1=－a1,2=－a2阶次p=1（如EUL）或p=2（如MIP）时显式单步法的容许积分步长，即=h［－2.0,0］。数值例子a1=1h1,max0的那些系统）一般是成立的。。只有对于阶次p的情况（即状态转移矩阵方法LIN），才会产生真正的稳态振荡。这再次表明了针对多体系统采用状态转移矩阵方法的优点（参见3.5节）。误差方程具有有限阶次p的方法的这种不良行为可以使用误差方程容易地检验（Potthoff 2003）。将测试初值问题（3.10）的真实解xt=x0et与（3.11）的近似解x^k 1=Rhx^k进行比较，可得全局离散化误差（GDE）方程： xk 1=xk 1－x^k 1=ek 1－kRx0 例如，当p=1时，误差方程为： xk 1=ek 1－1 kx0 在不稳定动态（如Re 0）下，得到一个发散的全局离散化误差（GDE）方程： 当0时,limk1 12!2 k 1－1 k= 对于其他方法和阶次，可以用同样的方式来研究动态特性。那么，存在哪些可能性能来正确实现这种实际重要情况的仿真呢？可能的解决办法对于线性模型，存在前面提到的状态转移矩阵方法（见3.5节）。如果绝对需要非线性仿真（以及一种通用的数值积分方法），只能通过限定全局离散化误差GDE=Ohp来解决该问题。这要求选择一个足够小的步长。这里充分小意味着=h不但必须位于绝对稳定域内，而且要置于原点附近。这又意味着所需计算时间的显著增加。例3.3谐振子无阻尼的质体-弹簧系统代表一个谐振频率0=km的谐振子。在没有外部激励的情况下，该系统可通过下列自治微分方程来描述： x=01－200x,x0=x10x20T 如果给定数值0=1与x0=10T，则真实解为xt=cost。图3.8给出这个真实解以及不同（固定）步长h下采用4阶龙格库塔法（RK4）与状态转移矩阵法（LIN）得到的近似解。容易看出，RK4方法只在步长充分小时复现稳态振荡（以及充分小的GDE），而LIN方法无论积分步长如何都非常精确地模拟了实际动态特性。对于机械结构的高频特征模态，RK4实现所需的步长不但必须位于绝对稳定域内而且要充分小，以避免不良的阻尼效应（这将导致甚至更长的计算时间！）。 图3.8谐波振子的近似解（0=1） 3.5高阶线性系统多体系统 本书所介绍的与机电系统设计相关的物理现象动态模型主要是线性的。特别地，线性形式（FEM）的多体系统运动方程一般是可以得到的，但是为了高精度建模，这些模型具有较高的阶数。如前面已经多次讨论的，必须将全部特征模态（也包括那些高频且常常是弱阻尼的特征模态）结合考虑在仿真中。这一般会形成线性、弱阻尼、刚性、高阶系统。前面几节已经详细探讨了这种系统模型数值积分方法的一般局限性和困难。求解方法： 状态转移矩阵本节将提出另一种动态系统方程数值求解的方法。该方法通过状态转移矩阵使用线性常微分方程系统的解析解。这种方法的优点是显著降低的计算负荷（计算时间）和任意高的计算精度。在下面的讨论中，我们考虑下列线性时不变（LTI）系统： x=Ax Buxt0=x0Rn y=Cx Du（3.12） 其中xRn,uRm,yRp,ARnn，BRnm,CRpn,DRpm。 3.5.1通用的数值积分方法显式单步法 如果将一种常用的单步数值积分方法用于上述的LTI系统，则可得以下高效算法： 前向欧拉法： x^k 1={I hA}x^k hBuk x^k 1=~1x^k H～1uk（3.13）  四阶龙格库塔法： x^k 1=I hA h22A2 h36A3 h424A4x^k hB h22AB h36A2B h424A3Buk x^k 1=~4x^k H～4uk（3.14） 时不变递推将这些常用的数值积分方法用于线性系统后，就可将常微分方程（3.12）简化为简单的递推式（3.13）或（3.14）。值得注意的是，由于式（3.12）的时不变性，这些递推式的系数矩阵在所有时刻都是恒定的，这也意味着在实际仿真运行之前它们只需要计算一次。3.5.2通过状态转移矩阵的求解方法解析解 为了更深入地理解该问题，可以与使用状态转移矩阵t（也称为基本矩阵或矩阵指数）求得的常微分方程组（3.12）的如下精确解析解进行比较（见（Ogata 2010））： xt=t－t0xt0 tt0t－Bud（3.15） 将式（3.15）中的积分区间选为［tk,tk h］，可得： xtk h=hxtk tk htktk h－Bud（3.16） 如上式满足如下假设条件： ut=utk=常数对t［tk,tk h（3.17） 可得任意步长h下精确解的递推公式： xtk h=hxtk h0Bdutk（3.18） xtk h=hxtk Hhutk（3.19） 其中,Hh∶=h0Bd。对于状态转移矩阵h和离散输入矩阵Hh，有下面的著名关系成立： h∶=eAh=I hA h22!A2 h33!A3 （3.20） Hh=hI h22!A h33!A2 h44!A3 B（3.21） 对通用数值积分方法的价值近似状态转移矩阵将式（3.20）、式（3.21）与式（3.13）、式（3.14）相比较可见，此处提出的数值积分方法使用了对真实解的近似。也就是说，在这些方法中，用（很少）数量的求和项来近似状态转移矩阵h和离散输入矩阵Hh。这显然与方法的阶次p直接有关，例如，RK4方法的阶数p=4，局部离散化误差LDE=Oh5，这意味着~4将精确的状态转移矩阵h近似到4阶h4。隐式方法（如梯形法）则通过Pade逼近来近似h（见表3.1）。单步法的递推通式于是，线性时不变系统单步积分法的递推通式可以简单地表示为： x^tk h=~hx^tk H～hutk y^tk=Cx^tk Dutk（3.22） 3.5.3仿真解的精度影响仿真精度的因素 状态转移矩阵仿真解x^tk的精度在根本上只取决于以下两个因素： ~h、H～h的近似精度。 假设条件式（3.17）的正确性（是否成立），即输入ut在积分区间［tk,tk h］内是否是恒定的。因此，积分步长h的选择不再像通用数值积分方法情况下对仿真精度有根本的显著影响。~、H～的离线计算根据式（3.20）和式（3.21）确定足够精确的近似矩阵~、H～完全与实际仿真算法式（3.22）相分离。因此，即使为了高精度积分，仿真的计算负荷仅取决于系统阶次（即系统矩阵A,B,C,D或~,H～的阶数）。~,H～的计算可以使用合适的数值稳定的算法离线进行。然而，在时变系统的情况下（如变结构系统），系统参数矩阵A,B一发生改变就必须重新计算~,H～。恒定输入影响状态转移矩阵方法精度的第二个根本因素是积分区间内输入的恒定性。一般情况下，这个条件当然不可能精确满足。在这种情况下，如果给定输入变化率和总体所需精度，步长h应选得足够小。 图3.9恒定输入 但是，在以下几种结构中，式（3.17）的要求得到精确满足，从而可以获得任意精确的解：1 uit是阶跃输入（在t=0 时刻后恒定）（见图3.9），即uit=cit,i=1,,m。此处对积分步长h没有限制。 2 uit为（分段恒定的）的阶梯形函数，即uit=ci,t［tk,tk h］,i=1,,m。例如，采样数据系统满足这个条件，该系统中uit为数字控制器的输出（见图3.10中零阶保持器是离散时间子系统与连续时间子系统之间的接口。）。在这种情况下，可以将相应的系统采样周期用作最大积分步长。如果有若干个不同的采样时间Ta,j（例如级联控制器），应该这样选择积分步长使得： hmax=最大公因子Ta,j,j=1,2, 图3.10采样控制器产生的阶梯形输入 从计算精度的角度来看，采用较小的积分步长也可以精确地模拟（仿真）采样时刻之间的系统行为。3 uit的模型是线性微分方程的解（信号发生器，信号模型）。此时，使用这些信号发生器将常微分方程系统进行扩展，可通过选择合适的初值将信号随时间的变化参数化，并根据式（3.22）对该扩展系统进行仿真（见图3.11）。 图3.11带有信号发生器的扩展系统 通用LTI信号发生器： v=F?瘙經 u=G?瘙經 扩展系统： x*∶=x?瘙經T, x*=ABG0Fx*,x*0=x0?瘙經0 A* 此时，仿真中必须使用状态转移矩阵*t=eA*t。注意到，此时仅需计算系统的齐次解，这里也没有对积分步长h的限制。然而，输入u的结构性变化绝对要求重新计算*h。例3.4谐波激励的信号发生器 ut=U0sin0t ,t0 LTI信号模型： v1t∶=ut=U0sin0t , v2t∶=v1t=U00cos0t , v2t∶=－U020sin0t =－20v1t 可推出： ?瘙經∶=v1v2T v=01－200?瘙經,?瘙經0=U0sinU00sin u=10?瘙經 3.6DAE系统的数值积分参考模型 为了便于表述和理解，本节考虑如下只包含一个状态变量和一个代数变量的标量系统： x=fx,z（3.23） 0=g1x,z（3.24） 或0=g2x（3.25） 向量取值系统也可以类似地处理。在数值积分的每一步，对应于微分方程（3.23）的差分方程和代数方程（3.24）、（3.25）必须同时得到满足。DAE直接求解本节将研究DAE系统直接数值求解的若干基本方法。直接求解的意思是，无需对模型进行额外修正，直接对原始的DAE系统（具有一定的微分指标，见2.4.1节）进行积分。确实，一种做法（2.4.3节中介绍过）是使用指标约减将DAE系统转化为一组常微分方程。这种方法存在的问题已经在之前章节中详细讨论过。关于该方法的扩展，读者可参考专著（Brenan et al，1996）、（Cellier、 Kofman，2006）和针对具体问题的论文（Otter，1999）、（Otter、Bachmann，1999）、（Otter、Bachmann，1999）。3.6.1显式积分法显式解 按照定义，显式积分法的特征是微分方程的近似解可使用一组递推方程来计算，即可以用恰当的形式顺序地求解这些方程（意味着较轻的计算负担）。DAE系统显式积分方法的基本问题已经可以通过简单的显式欧拉法来清晰说明。指标1系统根据定义，gz0，即g∶=g1x,z。给定（任意）初值x0，欧拉递推为： k=0：0=g1x0,z^0z^0（3.26） 通过已知x0的代数方程（3.24）求得合适的z^0。 k=1：x^1=x0 fx0,z^0x^1 0=g1x^1,z^1z^1（3.27）（3.28） 通过已知x0,z^0的微分方程（3.27）求得x^1，通过已知x^1的代数方程（3.28）求得z^1。 使用显式积分方法，通过序贯地求解差分方程（x^k 1）和代数方程（z^k 1），便可以求解指标1系统。额外任务： 根据式（3.26）确定具有一致性的初值x0和z^0。显示积分方法可照此使用。但是，在每个积分步，必须用一个代数方程求解对其进行补充。指标2系统根据定义，gz0，即g∶=g2x。给定合适的初值x0，欧拉递推为： k=0：0=g2x0x0（3.29） x0不能自由选择，而必须满足代数方程（3.25）！ k=1：x^1=x0 fx0,z0 0=g2x^1x^1,z0（3.30）（3.31） x^1,z0不是顺序可解的。式（3.30）与式（3.31）是一种隐含的非线性代数方程组，其解需要隐式解法，如牛顿拉夫森法（Faires、Burden，2002）。 指标大于或等于2的DAE系统原则上不能通过显式积分方法求解。需要一种隐式方程解法来同时求解差分方程与代数方程。 3.6.2隐式积分法隐式解 正如前面所讨论的，隐式数值积分方法必须含有一个隐式方程求解法。即使对于较大的积分步长也能保证数值积分的绝对数值稳定性（这一点对于刚性系统是很重要的），因而相应增大的计算负担是可接受的。所以，采用DAE系统数值求解的隐式积分方法来同时求解差分方程与代数约束条件似乎是方便的。然而，下面我们将看到该方法仅适用于特定类型的DAE系统。梯形法求解DAE系统隐式递推对于式（3.23）的DAE系统和式（3.24）及式（3.25）的代数方程g=0，通过积分步长为h的数值积分梯形算法由于其简单性，此处选取梯形方法作为一个例子。其他隐式单步法有类似的特性。TRA（Faires、Burden，2002）可得： x^k 1=x^k h2［fx^k,z^k fx^k 1,z^k 1］ 0=gx^k 1,z^k 1（3.32） 牛顿拉夫森迭代整理式（3.32）可得用以确定新的未知近似值x^k 1,z^k 1的非线性代数方程组： k 1pk 1∶=1,k 11,k 1=x^k 1－x^k－h2［fx^k,z^k fx^k 1,z^k 1］ gx^k 1,z^k 1（3.33） 其中，pk 1∶=x^k 1z^k 1 k 1pk 1=0（3.34） 非线性方程组（3.34）的解可使用著名的牛顿拉夫森方法得到，从而得非线性递推规则： pk 1,i 1=pk 1,i－Jpk 1,i－1k 1pk 1,i 当i满足‖pk 1,i 1=pk 1,i‖时，迭代终止。（3.35） 数值收敛性下面的雅可比矩阵对式（3.35）牛顿拉夫森迭代的收敛性起到核心作用在仿真工具中，雅可比矩阵既可以数值计算，也可以使用一个现成的解析函数来计算。： Jp=1xi 11xi 12xi 12zi 1=1－h2fx－h2fzgxgz（3.36） 根据式（3.35），牛顿拉夫森迭代在积分步（k 1）的数值收敛性要求雅可比矩阵（3.36）的逆必须存在，即下式必须成立： detJp=1－h2fxgz h2fzgx0（3.37） 下面将在不同DAE指标和任意小积分步长h0情况（是高数值精度所必需的）下检验基本条件（3.37）。指标1系统根据定义，满足指标1条件，因此g1z0（参见式（2.46））而且： limh0detJ=g1z0（3.38） 指标1系统一般可使用隐式方法（TRA）很好地求解，且与积分步长的选取无关。指标2系统根据定义，不满足指标1条件，于是g2z=0（见式（2.48））而且： detJ=h2fzg2x0.当h0时（3.39） 然而，注意到当积分步长非常小时，有： detJ0,limh0detJ=0.（3.40） 只有当积分步长足够大时，指标2系统才能使用隐式方法（TRA）很好地求解。当积分步长很小时，雅可比矩阵变为病态的（或非良定的）（detJ0），在牛顿拉夫森迭代中不再能精确求逆。指标3系统根据定义，不满足指标2条件式（2.48），因此，可得与积分步长无关的下式： detJ=h2fzg2x=0 使用隐式方法（TRA）基本上不能求解指标3系统。DAE系统积分算法的小结： 当指标2时： 总可以使用隐式方法。对于小步长，可能需要对代数变量进行量化（参见3.6.3节）。当指标=3时： 通过约减掉1个指标，即微分约束（Pfaffian形式），转化为指标2系统，进而按照上述步骤进行。3.6.3指标2系统的量化避免雅可比矩阵的奇异性 在积分步长很小情况下指标2系统雅可比矩阵的病态可通过对代数变量的合适量化得到缓解，量化方案如下：解决方法在固定时标k（这里的记法中略去）式（3.35）牛顿拉夫森迭代可以重写为： Jppi 1－pi=pi 从而，对如（3.23）和（3.25）所示的指标2系统可得： J～p～=1－h2fx－h＼2fzg2x0p1,i 1－p1,ih-p2,i 1－p2,i（3.41） 此处，将雅可比矩阵右上角元素乘以积分步长h等价于将参数向量第二行乘以h。因此，代数变量z被量化了h倍。这种技巧使得修改后的雅可比矩阵J～的行列式与积分步长h无关，即： detJ～=fzgx 因此，即使积分步长很小，牛顿拉夫森迭代也是良定的。3.6.4具有一致性的初值条件 为了满足代数约束（3.24），必须选择一致性初值x0和 z0。此时，应该区分如下两种情况： 指标为1的DAE系统gz是非奇异的（即g=g1x,z），从而可自由选择x0，并且可通过求解代数约束g1x0,z0=0来确定一致性初值z0。 指标大于或等于2的DAE系统gz是奇异的（即g=g2x），因此，由于z0不再只由代数约束确定，x0不再能自由选取。因此，需要从微分方程导出额外的约束（关于x,z的代数方程）（见3.6.4节）。不一致性带来的问题不一致性初值轻则导致仿真开始的误差，重则导致完全错误的解。一些仿真工具会自动对一致性初值进行检验。但一般情况下，对于复杂问题，一致性初值的确定是一个重要但困难的任务。因此，关于这方面，总要细致监测计算机辅助的解。漂离（driftoff）现象即使选择了一致性初值，由于数值积分期间的数字取整（舍入）误差，代数约束一般并不能精确满足（不断增大的解发散引起的问题）。DAE系统数值积分存在着特殊的镇定方法。一种基本方法称为Baumgarte镇定（Baumgarte 1972）（关于其实际实现，参见（Ascher et al，1994））采用原始代数约束与求微分后（根据指标约减）代数约束的一种线性组合。其他可能的做法是在每个积分步将近似答案投影到在代数约束流形上，因此这些方法被称作投影法（例如，Eich，1993）。这些方法之间的比较可见（Burgermeister et al，2006）等文献。3.7混杂现象仿真的实现方法不连续性 对不连续性（切换、状态不连续性）的识别与处理是仿真实现的一个最大挑战。基于局部离散化误差的估计使用自适应步长选取就可以处理简单的不连续性（例如，龙格库塔费尔伯格（RungeKuttaFehlberg）方法（Faires、Burden，2002）。然而，若不准确了解实际实现的步长算法，总应该抱着很大的怀疑态度来评价这种类型仿真的结果。混杂现象的最精确仿真需要采用专门的预防措施和做法，例如，（Otter et al，1999）； （Otter et al，1999）。3.7.1不连续性的处理基本问题 图3.12依赖于事件的步长选取 基本问题如图3.12所示。在第k 1个积分步的开始（即tk时刻），向量场f1x,u,t（常微分方程的右端）是激活的。若采用步长hhs执行积分步骤，结果会是仅使用f1x,u,t计算得到的近似值x^1tk h。但是，实际上，当tts时，应该在积分中考虑到向量场f2x,u,t，从而得到正确答案x^2tk h。一般情况下x^1x^2（亦可参见图2.62）。 原理性解决方法为了避免这类错误的仿真结果，推荐采用依赖于事件的步长选取的原理性方法，其算法如下良好的仿真工具一般实现了这种算法，但是在任何具体情况下，都应该对实现的质量进行检验。： 依赖于事件的步长选择算法 （1）识别出下一个积分区间中的不连续性（2）确定ts（3）匹配步长： hs=ts－tk（4）积分步k 1： x^tkhsx^ts－0（5）评估在不连续时刻ts的不连续性条件： （a） 不连续输入： uts 0=new_value， （b） 连续状态： x^ts 0=x^ts－0（如输入跳变）， （c） 不连续状态： x^ts 0=new_value（6）下一个积分步： x^ts 0hNEWx^ts hNEW， 其中hNEW根据给定的要求和约束（局部离散化误差、数值稳定性等）来确定 3.7.2事件检测事件的时间 在上面给出的事件依赖型步长选择算法中，步骤（1）与步骤（2）提出了识别事件并确定事件的时间ts的实际挑战。切换与状态不连续性等混杂现象一般可使用如下形式的不连续性超曲面及一个阈值检验来建模： mx,u,t=0（3.42） 对于网络状态模型（见2.5.3节），可以用式（3.42）简洁描述连续离散接口（CD接口，状态集及其边界曲面）。于是，可以使用监测函数的变号将离散事件信号?瘙經Dt描述成二值信号： zts=mxts,uts,ts=!0（3.43） 例如， 图3.13使用监测函数的事件检测 vDt=0,|zt| 1,|zt|（3.44） 其中表示一个适当小的阈值。 通过图3.13的二分（bisection）法和下列关系式就可以迭代地确定事件的时间ts： h^s=h|z ||z | |z－|,sign z sign z 在仿真工具中的实现在好的仿真工具中这类事件检测作为分立的功能模块（如SIMULINK： hit crossing）或离散事件模块的子功能（如SIMULINKSTATEFLOW： edgetriggered signal inputs）而存在。在所有情况下，积分算法或其步长选择总是可以访问的再次指出，必须对任何具体实现的正常运行进行细致测试。仿真工具的用户手册中所承诺的性能实际上并不总能交付提供，例如，读者可以参考文献（Buss 2002）中SIMULINK STATEFLOW事件检测模块的性能，6.3节。。3.8仿真实例： 理想单摆系统结构与问题描述 考虑图3.14所示的理想单摆这一机械DAE系统的代表性例子，初看起来其动力学特性非常简单。通过 图3.14理想单摆 这个例子，本节将说明这种DAE系统建模与仿真的最重要步骤，将提出基于信号的方法和基于方程的方法。 对于图3.14所示的理想单摆，需要找到： 包括连杆约束力的运动方程（一个DAE系统）。 基于信号的仿真模型（面向模块，如MATLABSIMULINK）。 基于方程的仿真模型（面向对象，如MODELICA）。解法1： 运动方程为DAE系统使用广义坐标q=（xy）T和广义速度q=?瘙經=vxvyT，可得系统的共动能（kinetic coenergy）为T*=m2v2x v2y。完整约束条件形为fq=x2 y2－l2=0。作用于该系统的唯一外力是重力F=0－mgT。第一类欧拉拉格朗日方程的一般形式为（参见2.3.2节，这里作了简化）： ddtT*q－T*q=F fxfy, fq=0,（3.45） 其中为对单摆连杆的约束力进行建模的拉格朗日乘子（仍为完整约束）。求式（3.45）的值可得： m00mv=0－mg 2x2y x2 y2－l2=0 将=－~m2代入，可得半显式DAE系统（ut=g=常数）： x=fx,~,u或x=vx vx=－~x y=vy vy=－~y－g（3.46） 0=gx或x2 y2－l2=0（3.47） 解法2： 指标约减与一致性初值包含质量m与约束元件间刚性耦合的机械结构看起来是一个指标3系统，通过指标检验容易证实这一猜测（见2.4.2节）。为了确定面向模块的仿真的一致性初值，下面按照2.4.3节进行系统性的指标约减。根据原始3指标系统的代数条件，可得第一个初值方程： x2 y2－l2=0（3.48） 通过对式（3.48）求导可获得第一次指标约减： 0=ddtx2 y2－l2=2xx 2yy 将式（3.46）代入可得2指标系统的代数条件和第二个初值方程： 0=xvx yvy（3.49） 对（3.49）求导可获得第二次指标约减： 0=ddtxvx yvy=xvx xvx yvy yvy 再次将式（3.46）代入上式，可得1指标系统的代数条件和第三个初值方程： 0=v2x v2y－gy－~l2（3.50） 然后对式（3.50）求导可获得第三次指标约减： 0=ddtv2x v2y－gy－~l2=2vxvx 2vyvy－gy－l2 最后再次将式（3.46）代入上式，得所期望的关于代数变量~的微分方程（等价于引入一个新状态变量~）： =－2~xvx 2~yvy 3gvyl2（3.51） 观察式（3.46）和（3.51）发现，所得结果是指标为0的DAE系统（即一组一阶常微分方程）。通过非线性方程组（3.48）至（3.50）可确定一致性初值x0,vx0,y0,vy0和~0。解法3： 基于信号的仿真模型微分方程（3.46）和（3.51）可直接在一个基于信号的仿真模型中实现。图3.15给出了使用MATLABSIMULINK的实现例子。 图3.15理想单摆的SIMULINK模型 解法4： 仿真实验与基于信号的模型初始的水平位置若连杆长度l=1，连杆的水平初始位置y0=0，根据方程式（3.48）~式（3.50）得一致性初值： x0=x0vx0y0vy0~0T=10000T 图3.16所示为时间信号的结果。 图3.16理想单摆： 基于信号的仿真，初始的水平位置 45初始位置当单摆初始位置0=45时，所得的一致性初值为： x0=x0vx0y0vy0~0T=120－1206.9367T（3.52） 容易验证，下列非一致性初值 x0=x0vx0y0vy0~0T=120－12010T（3.53） 不满足方程式（3.48）~式（3.50）。图3.17绘出了这两组不同初值下随时间的变化情况。与图3.17a中正确的解轨迹相比，容易发现图3.17b中非一致初值条件下错误的解轨迹并不总是如此明显，例如在复杂模型情况下。。 图3.17理想单摆： 基于信号的仿真，初始位置0=45 a） 一致的初值； b） 不一致的初值 解法5： 基于方程的仿真模型DAE系统式（3.46）和式（3.47）可直接（无需进一步的变换）在基于方程的仿真工具中实现。图3.18给出了基于MODELICA的这种实现例子。大多数基于MODELICA的仿真工具也能够自动生成一致性初值。精确实现的仿真结果与图3.16和图3.17a中给出的结果一致。 model pendulum parameter Real l=1;* pendulum length * constant Real g=9.81;* acceleration of gravity * Real x;* x coordinate * Real y;* y coordinate * Real lambda;* Lagrange multiplier * Real vx;* x component of velocity * Real vy;* y component of velocity * equation der（x）=vx; der（vx）=-x*lambda; der（y）=vy; der（vy）=-g-y*lambda; 0=x^2 y^-1^2; end pendulum; 图3.18理想单摆： MODELICA中基于方程的实现 其他可能的模型： 常微分方程组极坐标与直角坐标目前所采用的单摆模型是用直角坐标x,y来表示（见图3.14）。有的读者可能会想到，极坐标下的单摆模型形为如下无另外代数条件的常微分方程组（指标为0的DAE系统）： =, =－glsin（3.54） 使用普通的显式积分算法可以毫无困难地对上面的模型进行仿真。建模与仿真方面最后，除了上面的模型处理之外，需要说明的是，在系统设计中，总需要在仿真与建模之间进行折中考虑。通过对模型做合适的修改，甚至可以避免出现很多仿真难题。在上面的情况（坐标变换）下，这一点是成功的，并没有产生运动变量（角度、角速度）建模精度的任何损失。但是修改后的模型（3.54）中缺了约束力。若我们不关心后一情况（即约束力的缺失），从实现的观点来看第二种模型（极坐标模型）是更为可取的。本章参考书目 Ascher, U. M., H. Chin and S. Reich 1994. "Stabilization of DAEs and invariant manifolds." Numerische Mathematik 67： 131149. Baumgarte, J. 1972. "Stabilization of constraints and integrals of motion in dynamical systems." Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 1： 116. Brenan, K. E., S. L. Campbell and L. R. Petzold 1996. Numerical Solution of InitialValue Problems in DifferentialAlgebraic Equations. SIAM. Burgermeister, B., M. Arnold and B. Esterl 2006. "DAE time integration for realtime applications in multibody dynamics." ZAMMZ. Angew. Math. Mech. 8610： 759771. Cellier, F. E. and E. Kofman 2006. Continuous System Simulation. Berlin. Springer. Eich, E. 1993. "Convergence Results for a Coordinate Projection Method Applied to Mechanical Systems with Algebraic Constraints." SIAM Journal on Numerical Analysis 305： 14671482. Faires, J. D. and R. L. Burden 2002. Numerical Methods. BrooksCole. Franklin, G. F., J. D. Powell and M. L. Workman 1998. Digital Control of Dynamic Systems. AddisonWesley. Ogata, K. 2010. Modern Control Engineering. Prentice Hall. Otter, M. 1999. "Objektorientierte Modellierung Physikalischer Systeme, Teil 4." atAutomatisierungstechnik 474： A13A16. Otter, M. and B. Bachmann 1999. "Objektorientierte Modellierung Physikalischer Systeme, Teil 5." atAutomatisierungstechnik 475： A17A20. Otter, M. and B. Bachmann 1999. "Objektorientierte Modellierung Physikalischer Systeme, Teil 6." atAutomatisierungstechnik 476： A21A24. Otter, M., H. Elmqvist and S. E. Mattson 1999. "Objektorientierte Modellierung Physikalischer Systeme, Teil 7." atAutomatisierungstechnik 477： A25A28. Otter, M., H. Elmqvist and S. E. Mattson 1999. "Objektorientierte Modellierung Physikalischer Systeme, Teil 8." atAutomatisierungstechnik 478： A29A32. Potthoff, U. 2003. Zur Stabilitt von numerischen Integrationsverfahren. Interner Bericht, Institut fr Re.

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