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全国卷培优畅销书、专门指导高考战略、二级结论全部收录、助力考生拿到满分
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| 內容簡介： |
本书内容针对全国卷高考数学解析几何部分展开，侧重知识点的系统性与逻辑性，以及为达到满分的知识扩充和解题标准。全书分为九章，包括全国卷解析几何考试概论、*值与取值范围问题、切线问题、定值定点问题、平面向量在解析几何中的应用、几何元素问题、求轨迹方程、参数方程和极坐标、仿射变换等，附录给出了椭圆和双曲线的常考的92条性质和完整证明。
本书适合高中二、三年级的学生学习使用,也可供高中数学老师的参考用书。
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| 關於作者： |
李红庆 毕业于北京师范大学，30余年一线教学经验，海南华侨中学数学特级、正高级教师，海南省有突出贡献优秀专家，海口市拔尖人才苏步青数学教育奖获得者，海南师范大学硕士生导师，中学数学海口市青年骨干教师成长助推站和海南卓越工作室主持人。新课程改革高考数学方案五个论证专家之一（2006年），高考命题研究与解题专家。
清华大学校友，北京大学光华管理学院MBA，中国数学会北京分会会员，中国教育学会会员，中国计算机学会会员，奥赛教练。曾受衡水中学、衡水二中、会宁二中等多所中学邀请讲学。现为全国卷网创始人，项目得到了清华大学经管学院XLAB和加速器四期培育。全国卷网由北大清华校友创办，是研究全国卷新高考的专业机构，并在网络上开辟了没有围墙的在线大学，也为900万考生提供高考和自招资讯和解决方案。周韡
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| 目錄：
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目录
第一章全国卷解析几何考试概论
第一节离心率和离心率方程不等式和范围
第二节曲线位置关系代数与几何综合观点
第三节设而不求的快算
第二章最值与取值范围问题
第一节最值问题
第二节取值范围问题
第三章切线问题
第一节单切线
第二节双切线
第三节切点弦
第四章定值定点问题
第一节定值问题
第二节定点问题
第五章平面向量在解析几何中的应用
第一节解决有关角的问题
第二节解决共线问题
第六章几何元素问题
第一节直线和圆
第二节圆锥曲线
第三节角度问题
第四节三角形的心
第五节存在性问题
第七章求轨迹方程
第一节直接法求轨迹方程
第二节间接法求轨迹方程
第八章参数方程和极坐标
第一节参数方程问题
第二节极坐标方程问题
第九章仿射变换
第一节认识仿射变换
第二节利用仿射变换处理面积、弦长问题
第三节利用仿射变换凸显隐藏几何条件
附录A椭圆的92条性质
附录B椭圆的92条性质证明
附录C双曲线的92条性质
附录D双曲线的92条性质证明
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| 內容試閱：
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前言
本书是全国卷网（quanguojuan.com）高考研究中心教师多年的教学经验的提炼与总结，针对全国卷高考数学解析几何内容应试场景和满分战略进行讲解，侧重体现知识点的系统性与逻辑性，并进行了必要的知识扩充和解题标准讲解。书中有很多作者团队多年的教学心得，例如解析几何的硬解定理、数形结合中的切线规则、向量与圆锥曲线的出题规律的解决方法以及其他一些数学思想的应用。针对全国卷的高考题型及特点，我们力求探索简洁、高效、容易掌握的普适方法。让高考满分不再只是学子的一个梦想。书中内容为全国卷历年真题和模拟试题精选，配合互联网技术，真实还原考试场景下达到满分所具备的高考知识和学科素养。本书针对解答题和选择填空题梳理了二级子结论和知识扩展，应用出题人的思想，高屋建瓴，从大量题海中提炼了解题方法和技巧。全书分为九章，覆盖了全国卷高考最值与取值范围问题、切线问题、定值定点问题、平面向量在解析几何中的应用、几何元素问题、求轨迹方程、参数方程和极坐标、仿射变换，并给出了椭圆和双曲线的常考92条性质和完整证明。第一章为全国卷考试概论，讲解系统阐述： 离心率在解答题中的应用以及从代数几何两个观点看待曲线的位置关系，并且讲解了考试场景中设而不求的快算： 硬解定理加快解答速度。第二章为解析几何中考点密集的最值取值范围问题，系统归纳了参数的最值问题和取值范围问题。整章从函数建模和参数值域角度考虑参数范围问题。第三章为切线问题中单切线、双切线、切点弦的问题。创造性地给出了极线使用法则和全国卷常考的几个题型归纳。第四章为定值定点问题。阐述了定值问题和定点问题。函数建模和几何元素的交汇使得该章节熠熠生辉。第五章为平面向量在解析几何中的应用。讲解了解决有关角的问题和解决共线的问题。第六章为几何元素问题。系统地阐述了直线和圆、圆锥曲线、角度问题、三角形的心、存在性问题。从几何元素角度阐述三角形心和向量过程。第七章为求轨迹方程。讲解直接法求轨迹方程和间接法求轨迹方程的问题。第八章为参数方程和极坐标。讲解参数方程和极坐标方程的问题。第九章为仿射变换。系统地阐述仿射的变换、利用仿射变换处理面积、弦长问题、利用仿射变换凸显隐藏几何条件的问题。尽管本体属于超纲内容，但是按照考试原则我们可以更深刻地了解全国卷出题规律。附录给出了椭圆和双曲线的92条考试性质总结和证明，可以当作题目思考，也可以作为性质巩固记忆。本书得到海南华侨中学特级教师、正高级教师李红庆的中国教育学会十二五规定课题《素质教育目标下学生个性塑造、特长培养策略研究》（课题立项号： 21050065）和2015年海南省教育科学重点课题《互联网 高中数学几何探究性实验研究》（立项号： qjz1251507）研究成果支持。本书的完成有赖于一支高度负责的团队，各位编委都花了大量时间精心编写各自分工的内容。然而，编者虽倾心倾力，但终究水平有限，书中若有不妥之处，恳请广大读者批评指正！部分变式题讲解视频放于www.quanguojuan.com网站，视频课程为收费课程。编者
第三章切线问题第一节单切线二次曲线的切线方程：当曲线G（x,y）=0的弦P1P2的两个端点Pi（xi,yi）（i=1，2）重合时，Pi（xi，yi）（i=0，1，2）三点重合于曲线上一点P0（x0,y0），直线P1P2就是曲线G（x,y）=0在点P0处的切线。由于P0（x0，y0）在曲线上，于是，
Ax20 Bx0y0 Cy20 Dx0 Ey0 F=0。
故曲线G（x,y）=0在其上一点P0（x0，y0）处的切线方程是
Ax0x Bx0y xy02 Cy0y Dx0 x2 Ey0 y2 F=0。
【例1】【2016年河南省郑州市高中毕业年级第二次质量预测】已知曲线C的方程是mx2 ny2=1（m0,n0），且曲线C过A24，22、B66，33两点，O为坐标原点。（1） 求曲线C的方程；（2） 设M（x1,y1）、N（x2,y2）是曲线C上两点，且OMON，求证： 直线MN恒与一个定圆相切。解（1） 由题意可得： 18m 12n=1
16m 13n=1，解得m=4,n=1，所以曲线C的方程为y2 4x2=1。（4分）（2） 由题意得： y21 4x21=1，y22 4x22=1，x1x2 y1y2=0。（6分）原点O到直线MN的距离
d=|OM||ON||MN|=（x21 y21）（x22 y22）（x1-x2）2 （y1-y2）2=（x21 y21）（x22 y22）x21 x22 y21 y22
=（1-3x21）（1-3x22）2-3（x21 x22）=1-3（x21 x22） 9x21x222-3（x21 x22）。（8分）
由x1x2 y1y2=0得，x21x22=y21y22=（1-4x21）（1-4x22）=1-4（x21 x22） 16x21x22。所以x21x22=415（x21 x22）-115。
d=-3（x21 x22） 125（x21 x22） 252-3（x21 x22）=25-35（x21-x22）2-3（x21 x22）=55。（11分）
所以直线MN恒与定圆x2 y2=15相切。（12分）变式1【2010年全国卷理15】过点A（4，1）的圆C与直线x-y=0相切于点B（2，1），则圆C的方程为。变式2【2010年全国卷文13】圆心在原点上与直线x y-2=0相切的圆的方程为。【例2】【2016年湖南省长沙四校高考模拟卷（二）】设F1、F2分别是椭圆E： x24 y2b2=1（b0）的左、右焦点，若P是椭圆E上的一个动点，且PF1PF2的最大值为1。（1） 求椭圆E的方程；（2） 设直线x=ky-1与椭圆E交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为A（A与B不重合），则直线AB与x轴是否交于一个定点？若是，请写出该定点的坐标，并证明你的结论； 若不是，请说明理由。解（1） 解法1： 易知a=2，c=4-b2,b20。故y1 y2=2kk2 4，y1y2=-3k2 4。（7分）经过点A（x1，-y1），B（x2，y2）的直线方程为y y1y2 y1=x-x1x2-x1。令y=0，则x=x2-x1y1 y2y1 x1=（x2-x1）y1 （y1 y2）x1y1 y2=x2y1 x1y2y1 y2，又x1=ky1-1，x2=ky2-1，所以x=x2y1 x1y2y1 y2=（ky2-1）y1 （ky1-1）y2y1 y2=2ky1y2-（y1 y2）y1 y2=-6kk2 4-2kk2 42kk2 4=-4。故直线AB与x轴交于定点（-4，0）。
评注： 解决定点、定值问题的方法有两种，一是研究一般情况，通过逻辑推理与计算得到定点或定值，这种方法难度大，运算量大，且思路不好寻找； 另一种方法就是利用特殊情况确定定点或定值，然后验证，这样在整理式子或求值时就有了明确的方向。变式1求抛物线y2=5x与圆9x2 9y2=16的公切线方程。
图31
变式2F1、F2分别为椭圆x2a2 y2b2=1（ab0）的左、右焦点，点P是椭圆上的一点，则PF1F2所含的△PF1F2的旁切圆必切于椭圆的右顶点A2，PF2F1所含的△PF1F2的旁切圆必切于椭圆的左顶点A1。如图31所示。
变式3若椭圆x2a2 y2b2=1（ab0）的一个焦点F在直线l上的射影是H，则直线l和椭圆相切（相交、相离）的充要条件是点H在圆x2 y2=a上（内，外）。【例3】证明： 若P是在椭圆x2a2 y2b2=1（ab0）上异于顶点的一个动点，O是椭圆的中心，F为椭圆的右焦点，过椭圆上第二象限内一点M的切线l平行于OP，MF交OP于点N，则|MN|=a。证明设M（x0，y0），则椭圆在点M处的切线方程为x0xa2 y0yb2=1。由OP∥l知直线OP的方程为y=-b2x0a2y0。而直线MF的方程为y=y0x0-c（x-c），联立方程解得Na2y20cb2（a2-cx0），-x0y0ca2-cx0。由两点间距离公式及y20=b21-x20a2，得|MN|=a。变式1过双曲线上任一点P的切线与双曲线两渐近线交于A、B两点。求证： 点P是线段AB的中点。第二节双切线从第二次曲线外一点引曲线的两条切线，称为该点关于该曲线的双切线。把切点弦看成双重合直线，则双切线就是过该双重合直线与二次曲线公共点的相交双直线。因而，可用二次曲线方程和切点弦方程表示为
Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F Ax0x Bx0y xy02 Cy0y Dx0 x2 Ey0 y2 F2
=0（0）。
把双切线交点P0（x0，y0）代入上述方程可以确定，进而求出双切线方程。【例4】自点P（x1，y1）向圆x2 y2=r2引两条切线，切点为A、B，求直线AB的方程。解设A点坐标为（xA，yA），则由x1x y1y=r2，切线PA的方程为
xAx yAy=r2
它过P点，所以
xAx1 yAy1=r2
因此A在直线
xx1 yy1=r2①
上。同理B也在①上。所以①就是AB的方程。一般地，自点P（x1，y1）向圆x2 y2 2cx 2dy f=0引两条切线，则过两个切点的直线为
x1x y1y c（x x1） d（y y1） f=0②
不论P在圆外、圆内、圆上，直线②都称为点P的极线。方程②中，（x1,y1）与（x,y）地位平等（即将两者互换，②不变），因此，如果点P（x1,y1）的极线过Q（x,y），则点Q（x,y）的极线也过P（x1,y1）。变式1（2013华约）设k0，在直线y=kx与y=-kx上分别取点A（xA，yA）与B（xB，yB），使xAxB0且|OA||OB|=1 k2，其中O是坐标原点。记AB中点M的轨迹为C。（1） 求C的方程；（2） 若抛物线x2=2py（p0）与C在两点相切，证明： 两个切点分别在两条定直线上，并求在这两切点处的切线方程。【例5】【河南省开封市2016届高三第一次模拟考试】
图32
如图32所示，已知圆G： （x-2）2 y2=r2是椭圆x216 y2=1的内接△ABC的内切圆，其中A为椭圆的左顶点。（1） 求圆G的半径r；（2） 过点M（0，1）作圆G的两条切线交椭圆于E、F两点，证明： 直线EF与圆G相切。【命题意图】本题主要考查椭圆与圆的关系、直线与圆的相切关系、点到直线的距离、直线方程的求法。解（1） 设B（2 r,y0），过圆心G作GDAB于D，BC交长轴于H。由GDAD=HBAH得r36-r2=y06 r，即y0=r6 r6-r，①而B（2 r，y0）在椭圆上，所以y20=1-（2 r）216=12-4r-r216=-（r-2）（r 6）16，②由①②式得15r2 8r-12=0，解得r=23或r=-65（舍去）。（2） 设过点M（0，1）与圆G： （x-2）2 y2=49相切的直线的方程为： y-1=kx③则23=12k 111 k2，即32k2 36k 5=0，解得k1=-9 4116，k2=-9-4116。将③代入x216 y2=1得（16k2 1）x2 32kx=0。则异于零的解为x=-32k16k2 1。设F（x1,k1x1 1），E（x2,k2x2 1），则x1=-32k116k21 1，x2=-32k216k22 1，则直线FE的斜率为kEF=k2x2-k1x1x2-x1=k1 k21-16k1k2=34，于是直线FE的方程为： y 32k2116k21 1-1=34x 32k116k21 1，即y=34x-73，则圆心（2，0）到直线FE的距离d=-32-731 916=23，故结论成立。变式1自椭圆的准线上一点P引两条切线，证明连接切点的弦T1T2垂直于PF，这里F是与所说准线在同一侧的焦点。
图33
变式2如图33所示，过直线l： 5x-7y-70=0上的点P作椭圆x225 y29=1的切线PM和PN，切点分别为M和N，连接MN。（1） 当点P在直线l上运动时，证明： 直线MN恒过定点Q；（2） 当MN∥l时，定点Q平分线段MN。变式3（2014江西南昌三模，21）已知抛物线： x2=2py和点M（2，2），若抛物线上存在不同两点A、B满足AM BM=0。（1） 求实数p的取值范围；（2） 当p=2时，抛物线上是否存在异于A、B的点C，使得经过A、B、C三点的圆和抛物线在点C处有相同的切线？若存在，求出点C的坐标； 若不存在，请说明理由。【例6】已知过抛物线C： y2=2px（p0）的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A（x1,y1）和B（x2,y2）（x1-1，且a1,a2时，交点有2个，圆有2个。而当a=2时，易验证有2个交点，圆有2个； 当a=1时，易知交点有1个，圆有1个。综上所述： 当a-1，且a1时，圆有2个。解法2： 设圆心Q（x0,y0）（y20=4x0），P（a,2-a），由于准线l： x=-1，故若存在圆Q满足条件，则r=|PQ|=（x0-a）2 （y0 a-2）2，且r=|x0 1|。所以（x0-a）2 （y0 a-2）2=（x0 1）2，即a2 y20 2（a-2）y0 （a-2）2=（2 2a）x0 1=（2 2a）y204 1，整理得（1-a）y20 （4a-8）y0 4a2-8a 6=0（*），当a=1时，（*）式即-4y0 2=0,有1个解。（9分）当a1时，（*）式中
=（4a-8）2-4（1-a）（4a2-8a 6）=16a3-32a2-8a 40=8（a 1）（2a2-6a 5），
因为2a2-6a 5=2a-322 120。所以当a-1时，0，（*）式有2个解；当a=-1时，=0，（*）式有1个解；当a-1，且当a1时，圆有2个。（12分）变式1（2016年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷（三））A为曲线y=-（x-4）24上任意一点，点B（2，0）为线段AC的中点。（1） 求动点C的轨迹E的方程；（2） 过轨迹E的焦点F作直线交轨迹E于M、N两点，在圆x2 y2=1上是否存在一点P，使得PM、PN分别为轨迹E的切线？若存在，求出轨迹E与直线PM、PN所围成的图形的面积； 若不存在，请说明理由。变式2过点Q（-1，-1）作已知直线l： y=14x 1的平行线，与双曲线x24-y2=1交于点M和N。（1） 证明： Q是线段MN的中点；（2） 分别过点M、N作双曲线的切线l1、l2，证明： 三条直线l、l1、l2交于同一点；（3） 设P为直线l上一动点，过P作双曲线的切线PA和PB，切点分别为A和B，证明： 点B在直线AB上。【例7】从椭圆x2a2 y2b2=1上一点P，引以短轴为直径、原点为圆心的⊙O的两条切线，切点为A、B，直线AB与x轴、y轴分别相交于点M、N，则a2|ON|2 b2|OM|2=a2b2。
证明如图34所示，设P（x0，y0），⊙O的方程为x2 y2=b2，则切点弦AB的方程为x0x y0y=b2。由x=0得|ON|=y=b2y0，y=0得|OM|=x=b2x0，从而a2|ON|2 b2|OM|2=a2y20 b2x20b4=a2b2b4=a2b2。注： 类似地，（i）可证明将上例中的⊙O换为以长轴为直径的圆，P为此圆上一点，引椭圆的两条切线，则a4|OM|2 b4|ON|2=a2； （ii）可证明对于双曲线x2a2-y2b2=1（a0，b0），抛物线y2=2px（p0）的类似于上例的结论：（a） 从双曲线x2a2-y2b2=1（a0，b0）上一点P，向以实轴为直径、原点为圆心的圆O引两条切线，切点为A、B，直线AB与x轴、y轴分别交于M、N，则
b2|OM|2-a2|ON|2=b2a2。
（b） 从双曲线x2a2-y2b2=1（a0,b0）上一点P，向以虚轴为直径，原点为圆心的圆O引两条切线，切点为A、B，直线AB与x轴、y轴分别交于M、N，则
b2|OM|2-a2|ON|2=a2b2。
（c） 从抛物线y2=2px（p0）上一点P，向以2p（通径）为直径，原点为圆心的圆引两条切线，切点为A、B，直线AB与x轴、y轴相交于点M、N，则|OM|2|ON|2=2p。变式1（2008年，全国高中数学联赛）如图35所示是抛物线y2=2x上的动点，点B、C在y轴上，圆（x-1）2 y2=1内切于△PBC。求△PBC面积的最小值。
图34
图35
第三节切点弦二次曲线的切点弦方程：设从点P0（x0，y0）引曲线G（x,y）=0的两条切线，切点分别为Pi（xi，yi）（i=1，2）。则过点Pi（xi，yi）（i=1，2）的切线方程为
Axix Bxiy xyi2 Cyiy Dxi x2 Eyi y2 F=0（i=1，2）
因点P0（x0，y0）在上述两切线上，所以
Axix0 Bxiy0 x0yi2 Cyiy0 Dxi x02 Eyi y02 F=0（i=1，2）。
以上两式说明，点Pi（xi,yi）（i=1,2）都在以下直线上：
Ax0x Bx0y xy02 Cy0y Dx0 x2 Ey0 y2 F=0①
因此，从点P0（x0，y0）引曲线G（x,y）=0的两条切线所得切点弦的方程为式①。【例8】【2013年全国卷1理20文21】已知圆M： （x 1）2 y2=1，圆N： （x-1）2 y2=9，动圆P与M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C。（Ⅰ） 求C的方程；（Ⅱ） l是与圆P、圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A、B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|。由已知得圆M的圆心为M（-1，0），半径r1=1，圆N的圆心为N（1，0），半径r2=3。设动圆P的圆心为P（x,y），半径为R。（Ⅰ） 因为圆P与圆M外切且与圆N内切，所以|PM| |PN|=（R r1） （r2-R）=r1 r2=5，由椭圆的定义可知，曲线C是以M、N为左右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆（左顶点除外），其方程为x24 y23=1（x-2）。（Ⅱ） 对于曲线上任意一点P（x,y），由于|PM|-|PN|=2R-22，所以R2，当且仅当圆P的圆心为（2，0）时，R=2。所以当圆P的半径最长时，其方程为（x-2）2 y2=4，当l的倾斜角为90时，则l与y轴重合，可得|AB|=23。当l的倾斜角不为90时，由r1R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则|QP||QM|=Rr1，可求得Q（-4，0），所以设l： y=k（x 4），由l与圆M相切得|3k|1 k2=1，解得k=24。当k=24时，将y=24x 2代入x24 y23=1（x-2）并整理得7x2 8x-8=0，解得x1,2=-4627，所以|AB|=1 k2|x1-x2|=187。当k=-24时，由图形的对称性可知|AB|=187，综上，|AB|=187或|AB|=23。变式1【2016年全国卷1文15】设直线y=x 2a与圆C： x2 y2-2ay-2=0相交于A、B两点，若|AB|=23，则圆C的面积为。【例9】抛物线y2=2px上的两点P1、P2的纵坐标之差|y1-y2|=4p，则以P1P2为直径的圆与抛物线在另一公共点处相切。解圆的方程为
（x-x1）（x-x2） （y-y1）（y-y2）=0（1）
抛物线的方程即
x=y22p（2）
所以
x1=y212p，x2=y222p（3）
将（2）、（3）式代入（1）式得
（y2-y21）（y2-y22） 4p2（y-y1）（y-y2）=0（4）
这是圆（1）与抛物线（2）的公共点的纵坐标所需满足的条件。在（4）两边约去（y-y1）（y-y2）得
（y y1）（y y2） 4p2=0（5）
这是P1、P2以外的两个公共点（的纵坐标）所需满足的要求。所谓圆（1）与抛物线（2）相切，就是它们有两个公共点合而为一。现在二次方程（5）的判别式为
（y1 y2）2-4（4p2 y1y2）=（y1-y2）2-16p2
由已知|y1-y2|=4p，这判别式为0，（5）有等根，圆与抛物线在P1、P2以外的公共点相切。
评注： 一次或二次曲线与另一二次曲线相切均指它们有两个公共点合而为一、因此通常用二次方程的判别式去处理。【例10】如果双曲线的两个焦点坐标分别为F1（-2，0）和F2（2，0），双曲线的一条切线交x轴于Q12，0，且斜率为2。（1） 求双曲线的方程；（2） 设该切线与双曲线的切点为P，求证： F1PQ=F2PQ。解（1） 设双曲线方程为x2a2-y2b2=1。由于它与直线y=2x-12即y=2x-1相切，所以方程组
x2a2-y2b2=1，
y=2x-1，
只有唯一一组解，这样，关于x的方程
x2a2-（2x-1）2b2=1①
有两个相等的实根， 其判别式等于零，所以有
4b22-41a2-4b2-1b2-1=0。
整理得b2-4a2 1=0。注意双曲线的两个焦点坐标分别为（-2，0）和（2，0），所以其半焦距为c=2。这样a2 b2=4。与前述方程联立解得a2=1，b2=3。因此双曲线方程为x2-y23=1。（2） 由于a2=1，b2=3，方程①为x2-（2x-1）23=1,从中解得x=2，代入y=2x-1得y=3。故切点P的坐标为（2，3）。因此F1P的斜率为
k=3-02-（-2）=34。
双切线PQ的斜率t=2，所以
tanF1PQ=t-k1 kt=12，
注意到F2与P的横坐标相同，所以F2P平行于y轴，tanF2PQ=1t=12。所以tanF1PQ=tanF2PQ，F1PQ=F2PQ。变式1【2014年新课标卷2理16】设点M（x0，1）若在圆O： x2 y2=1上存在点N，使得OMN=45，则x0的取值范围是。【例11】设P椭圆x2a2 y2b2=1（ab0）上异于长轴顶点A1、A2的任一点，过P点的切线与分别过A1、A2的切线相交于B1、B2，则以B1B2为直径的圆必过两焦点F1、F2。证明如图36所示，设P（acos，bsin），则过P的切线方程为xcosa ysinb=1，它与y轴交于点C（0，bcsc），C是线段B1B2的中点，从而|CF1|=|CF2|=c2 b2csc2。联立x=-a，xcosa ysinb=1，得B1-a，（1 cos）bsin，于是
12|B1B2|=|B1C|=（-a）2 （1 cos）bsin-bsin2=c2 b2csc2。
从而|CF1|=|CF2|=12|B1B2|，故F1、F2在以B1B2为直径的圆上。变式1求证： 经过抛物线y2=2px上任意两点的弦的中点M的直径所在直线必过两切线交点。变式2（湖南省高中数学竞赛）如图37所示，过直线l： 5x-7y-70=0上的点P作椭圆x225 y29=1的切线PM、PN，切点分别为M、N，连接M、N。
图36
图37
（1） 当点P在直线l上运动时，证明： 直线MN恒过定点Q；（2） 当MN∥l时，定点Q平分线段MN。
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