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| 內容簡介： |
本教材（分上、下册）属于“十三五”国家重点出版物出版规划项目，同时还是“十三五”江苏省高等学校重点教材。主要介绍一元函数微积分及其应用，内容包括：实数集与数列极限、函数的极限与连续、函数的导数与微分、微分中值定理与应用、定积分与积分法、定积分的推广应用与傅里叶级数.本教材突出、强化数学基础，同时重视不同数学分支间的相互渗透和联系.
本教材可作为理工科大学本科一年级新生的数学课教材，也可作为准备报考理工科硕士研究生的人员和工程技术人员的参考书.
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| 目錄：
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前言
第1章实数集与数列极限
1.1实数集
1.1.1集合及其运算
1.1.2数集的界与确界
1.1.3实数集的完备性*
1.1.4常用恒等式与不等式
习题1.1
1.2数列极限
1.2.1数列极限的概念
1.2.2收敛数列的性质
1.2.3无穷小和无穷大
1.2.4收敛数列的判定准则
习题1.2
1.3数项级数
1.3.1数项级数的收敛性及性质
1.3.2正项级数的收敛判别法
1.3.3一般项级数收敛判别法
1.3.4绝对收敛与条件收敛
习题1.3
第2章函数的极限与连续
2.1函数
2.1.1函数的定义与运算
2.1.2函数的特性
2.1.3初等函数
2.1.4隐函数、参数方程与极坐标
习题2.1
2.2函数极限
2.2.1函数极限的概念
2.2.2函数极限的性质与两个
重要极限
2.2.3函数极限的存在准则
2.2.4无穷小量与无穷大量的阶
习题2.2
2.3函数的连续性
2.3.1函数连续性的概念及间
断点分类
2.3.2区间上的连续函数
习题2.3
2.4函数列与函数项级数
2.4.1函数列及其一致收敛性
2.4.2函数项级数及其一致收敛性
2.4.3幂级数的收敛性
习题2.4
第3章函数的导数与微分
3.1导数的概念
3.1.1导数的定义
3.1.2导数的意义
习题3.1
3.2求导的运算
3.2.1四则运算法则与反函数
求导公式
3.2.2复合函数的链式法则
及其应用
3.2.3高阶导数的计算与莱布
尼茨公式
习题3.2
3.3微分
3.3.1微分的概念
3.3.2微分与近似计算
习题3.3
第4章微分中值定理与应用
4.1微分中值定理
4.1.1函数的极值与费马定理
4.1.2罗尔定理及其应用与推广
4.1.3拉格朗日中值定理及其应用
4.1.4柯西中值定理与洛必达法则
习题4.1
4.2泰勒公式与泰勒级数
4.2.1泰勒公式
4.2.2泰勒级数
习题4.2
4.3极值、最值、拐点、曲率
4.3.1极值与最值
4.3.2拐点与曲率
习题4.3
第5章定积分与积分法
5.1定积分的概念与性质
5.1.1定积分的概念
5.1.2函数可积性的判定
5.1.3定积分的性质
习题5.1
5.2微积分基本定理
5.2.1原函数的存在性与微积
分基本定理
5.2.2不定积分与基本积分表
习题5.2
5.3换元积分法
5.3.1换元法则Ⅰ——凑微分法
5.3.2换元法则Ⅱ——第二换元法
5.3.3定积分换元法
习题5.3
5.4分部积分法
5.4.1不定积分的分部积分法
5.4.2定积分的分部积分法
习题5.4
5.5初等函数的积分
5.5.1有理式的积分
5.5.2三角有理式的积分
5.5.3若干无理式的积分
习题5.5
第6章定积分的推广应用与傅里叶
级数
6.1反常积分
6.1.1反常积分的概念与计算
6.1.2反常积分的性质与收敛
性的判定
习题6.1
6.2积分的几何应用
6.2.1微元法与平面图形的面积
6.2.2曲线的弧长
6.2.3特定空间体的体积
6.2.4旋转曲面的面积
习题6.2
6.3积分的物理应用
6.3.1静态总量
6.3.2动态效应
6.3.3简单建模
习题6.3
6.4傅里叶级数
6.4.1三角级数与三角函数系
的正交性
6.4.2函数展开为傅里叶级数
6.4.3傅里叶级数的收敛性与性质
习题6.4
参考文献
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| 內容試閱：
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微积分是现代数学最重要的基础，也是中小学数学课程的直接延伸，其思想与方法几乎渗入到现代科学的所有分支中.21世纪的科学发展验证了一个观点：高技术本质上是数学技术！人工智能、信息技术的快速发展，极大冲击了人们的传统观念与思想，更是提升了人们对数学知识的需求.抽象思维、逻辑推理、空间想象、科学计算等诸方面都与现代科学技术的发展和应用密不可分，而微积分则集中体现了这些数学能力的培养，具有超越其他课程的严谨性、逻辑性和抽象性.在学习微积分的过程中反复训练，可以培养学生的数学能力与素养，甚至可以影响其一生.因此可以说，微积分是大学理工科最重要的基础课程，而且这种重要性随着现代科技的发展日趋显著.
本教材的编写正是为了适应新时代培养高质量的理工科研究人才和创新型工程技术人才的要求，同时结合了我校多年的教学改革经验，对传统的大学微积分教学体系、内容、观点、方法以及处理上，进行了新颖而有建设性的改革，主要特色包括以下方面：
1.注重教材整体内容和思想上的紧凑、统一和连贯.
1本教材将传统教材中的无穷级数章节打散，融入到整个一元函数篇中.具体来说，把数项级数与数列极限放在一起，它们共用类似的收敛发散处理方法；函数项级数的一致收敛性放在函数的一致连续性之后，强调它们共同的“一致性”概念（对函数自变量变化的一致性）；将函数的幂级数展开放在微分学泰勒公式之后，阐述展开式从有限到无限的过程；傅里叶级数放在积分的应用之后，三角函数系的正交性正是积分中的重要结论.这样，虽然级数作为一个整体章节不复存在，但是级数的思想与方法（求和、逼近、展开）贯穿在整个一元函数微积分中.
（2）本教材特别注意形异实同教学内容的统一化处理，例如，统一给出了六种极限过程的柯西收敛准则，对两种洛必达法则进行了统一的证明，统一处理了
数量值函数积分的概念及性质.特别是对无穷积分和瑕积分，在介绍两者的概念、柯西准则、与无穷级数的关系、收敛性判定（比较判别法、柯西判别法、阿贝尔狄利克雷判别法）时，均是统一化处理，节省篇幅且利于学生同时掌握两种反常积分.
（3）在教学内容的连贯性上，以有限过渡到无限为桥梁，将泰勒公式推广为泰勒级数展开，将有限个函数之和的求导运算推广为函数项级数的逐项求导公式，将有限个函数之和的积分运算推广为函数项级数的逐项积分公式.这样，在教学过程中，学生可以领会到有限推广到无限时所带来的便利和所面临的困难，以及如何克服这些困难.
2.教材中融入了数学史，将微积分的重要概念与物理学、天文学、几何学的背景紧密结合，并适度回溯数学史上一些关键人物做出重大发现的轨迹.例如，在介绍函数概念时，回溯了从伽利略、笛卡儿、伯努利、欧拉、柯西、狄利克雷一直到康托尔、豪斯道夫对函数定义的不断理解深刻的过程，了解如何产生现代意义上的函数定义；对导数、定积分等重要概念，也尽量说明其发展的历程，以及目前教科书中的通用定义的来源；在积分的应用——曲线弧长中，介绍了年轻荷兰数学家范·休莱特的杰出工作.这样既激发了学生学习数学的兴趣，又能使学生逐步理解数学的本质以及数学研究的规律和途径.
3.注重典型实例的引入，如在介绍初等函数时，介绍了悬链线和最速降线这两种曾在历史上备受瞩目的曲线，增加了教材的实用性与趣味性.此外，还引入一些著名的反例，以帮助学生理解一些重要概念.例如，通过介绍满足介值性但处处不连续的函数，学生可以领会连续性与介值性的差异；通过介绍范·德·瓦尔登的例子，证明了其处处连续处处不可导性，学生可以了解连续性与可导性的差异，等等.
4.教材中增加了一些与现代数学或其他学科密切相关的拓展性内容，开拓学生的视野，例如介绍线性算子、连续复利、黎曼ζ函数等知识.
5.本教材与国内一般的高等数学教材相比，保留了其除近似计算外的全部内容，同时引入了现代数学思想，增加了实数的基本理论、一致连续、一致收敛、含参量积分等内容，强化了微积分的理论基础.与国内一般的数学分析教材相比，则增加了工程应用中不可或缺的几何、代数与微分方程章节，同时减少了若干传统分析中复杂的论证，处理问题更加简洁高效，充分融入工程应用背景，适合工科特点.
本教材适合理工科（非数学专业）以及经济学、管理学等学科中对数学要求较高的专业使用，略去部分内容后，也适合一般工科专业的大一新生使用.
由于编者水平有限，书中的缺点、疏漏和错误在所难免，恳请读者批评指正.
编者
于南京航空航天大学
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