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这个问题显然需要在特殊的基础上进行归纳，从第2项起，每一项都是在前一项的基础上加3，那么第100项应该是在第1项的基础上加99个3，即为2 99×3。可以因此归纳出，第n项的通项公式应该是2 （n－1）×3。 再如，我们知道三角形、四边形、五边形的内角和分别为180°，360°，540°，据此，我们可以归纳出n边形的内角和应该是（n－2）× 180°。 再看下面这个问题： 有100个边长为1的正三角形如下图所示排成一行，请问图形的周长是多少？ 我们不妨从1个正三角形开始： 正三角形个数 周长 1 3 2 4 3 5 4 6 据此，我们可以归纳出n个正三角形按上面的方式排列的周长为（n 2）。 如果我们把正三角形换成正五边形，100个边长为1的正五边形如下图所示排在一起，周长为多少？ 我们同样也可以从1个正五边形开始做如下归纳： 正五边形个数 周长 1 5 2 8 3 11 4 14 据此，可以归纳出n个正五边形按上述方式排列，周长为（3n 2）。 上面的结论，当然可以进行严格证明。从图中可以看到，除了一头一尾两个正五边形贡献了4条边，其余（n－2）个正五边形都只贡献了3条边，因此周长为4×2 3×（n－2）=3n 2。 后再来看一个稍微复杂一点儿的问题： 有1个水龙头，6个人各拿一只水桶到水龙头下接水，水龙头注满6个人的水桶所需时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟，怎么安排这6个人打水，才能使他们等候的总时间短，短的时间是多少？ 这个问题也可以从归纳开始。 首先，假设只有2个人，所需注水时间分别为3分钟和4分钟，注水时间只有3，4和4，3两种排列，显然，按照前一种排列方式打水，等候的总时间短。 再假设有3个人，所需注水的时间分别为3分钟，4分钟，5分钟，那么有： 注水时间的排列顺序 等候的总时间（包括自己注水的时间） 3，4，5 22 3，5，4 23 4，3，5 23 4，5，3 25 5，3，4 25 5，4，3 26 可以看到，按照3分钟、4分钟、5分钟的顺序打水，等候的总时间短。 据此，可以大致归纳出下面的结论：为了让所有人等候的总时间短，应该按照注水时间从小到大的顺序排队打水。但这个归纳到底对不对，还需要严格的证明。 种方法 种方法是可以利用反证的思想。假如在等候时间少的打水方案中，有两个人a和b，两人注水时间也分别用a，b表示，注水时间长的排在注水时间短的前面，如下图所示，a＞b，且设排在a前面的有x人，排在a和b之间（不包含a，b）的有y人，排在b后面的有z人。 那我们可以交换a，b的顺序，得到如下的打水顺序。 在上面的两种打水方案中，只有第x 1个人和中间的y个人，他们的等候时间受到了影响，a，b交换位置对前面x个人和后面z个人的等候时间并没有影响，对第x y 2个人的等候时间也没有影响。 我们可以计算一下种方案的总等候时间与第二种方案的总等待时间之差。 前面x个人：等候时间相等； 第（x 1）个人：两种方案的时间差为（a－b）； 中间y个人：两种方案的时间差为（ya－yb）。 因此，总的等候时间差为：a－b ya－yb=（y 1）（a－b）>0。 也就是说，交换位置后，等候的总时间会变少。这说明在后使得打水等待总时间少的方案中，一定是按照注水时间从少到多的顺序排列的。 第二种方法 假设6个人后打水的先后顺序为：a，b，c，d，e，f，各人需要的注水时间也用a，b，c，d，e，f表示，那么总的等候时间为： a （a b） （a b c） （a b c d） （a b c d e） （a b c d e f） =6a 5b 4c 3d 2e f =5a 4b 3c 2d e （a b c d e f） =5a 4b 3c 2d e 35 要使得和小，后一个式子中消失的f应该是的，即10分钟，剩下的a，b，c，d，e为5，4，3，7，6这组数的一个排列。 基于递归的思维，重复这一分析过程，可以得到e=7，d=6，c=5，b=4，a=3。 事实上，许多物理定律的发现都依赖对大量数据的观测和归纳。比如开普勒发现的行星运动定律。从这个意义上讲，对数据的拟合就是一种归纳。 当然，上面所说的归纳是可以进行严格证明的。但有些通过特殊情况归纳出的一般结论，并不一定正确，或者很难被证明或证伪。例如，大名鼎鼎的哥德巴赫猜想就属于这样的归纳结论。 哥德巴赫猜想：任何大于2的偶数都可以表示成两个质数之和。 比如，4=2 2，6=3 3，8=3 5，10=5 5，这个结论对于特殊值都成立。但通过归纳得出的一般性结论，经历了这么多年依然未能被证明或证伪。 此外，规律不一定，同样的观测值，可以得出不同的可解释的归纳结论。比如，1，2，4，8，_____ 按照大部分人的直觉，8后面的横线上应该填16。但是，填15也行。为什么？如果你去研究一下0刀、1刀、2刀、3刀、4刀分别可以把西瓜多切成多少块，就会发现是1，2，4，8，15这个序列。如果有疑问，可以查看本书第6章的相关内容。 填14也行。为什么？如果你去观察一下0个圆、1个圆、2个圆、3个圆、4个圆分别把平面多分成多少个区域，就会发现是1，2，4，8，14这个数列。 事实上，从纯数学理论出发，只要是有限个数，空格处填任何数都存在合理的解释。

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