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| 內容簡介： |
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《可积系统、正交多项式和随机矩阵：Riemann-Hilbert 方法》以反散射理论、Riemann-Hilbert方法、Deift-Zhou非线性速降法和速降法为分析工具，系统阐述这些方法在可积系统、正交多项式和随机矩阵理论方面的应用.主题部分取材于Deift、McLaughlin、Biondini、Jenkins等一些学者近年来前沿成果.内容主要包括Riemann-Hilbert方法与方程的零边界和非零边界求解；Deift-Zhou非线性速降法与mKdV方程的长时间渐近性；速降法与方程在孤子区域的长时间渐近性；正交多项式和随机矩阵的渐近性分析.
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| 目錄：
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目录 《现代数学基础丛书》序 前言 第1章 绪论 1 1.1 RH问题 1 1.1.1 RH问题的产生和发展 1 1.1.2 RH方法和思想 2 1.2 RH方法在可积系统初值问题应用状况 3 1.2.1 求解可积系统方面 4 1.2.2 分析解的渐近性方面 7 1.2.3 RH方法、反散射和方法比较 10 1.3 在正交多项式和随机矩阵应用状况 10 第2章 矩阵分析初步 12 2.1 矩阵范数 12 2.2 矩阵序列和级数 14 2.3 矩阵的导数和积分 17 2.4 张量积和外积 21 2.5 矩阵特征值估计 24 第3章 复分析和RH问题 26 3.1 Jordan定理 26 3.2 解析变换 27 3.2.1 保域性 28 3.2.2 保角性 29 3.3 共形映射 31 3.4 Cauchy积分定理和Painlevé开拓定理 35 3.5 Cauchy主值积分和Plemelj公式 37 3.5.1 Cauchy主值积分37 3.5.2 Cauchy主值积分存在性 40 3.5.3 Plemelj公式 41 3.6 Laplace积分 443.7 速下降法 45 3.7.1 速降方向 45 3.7.2 稳态相位点和速降线 47 3.7.3 复积分的渐近估计与应用 49 3.8 矩阵RH问题 50 3.9 积分型Taylor公式 53 第4章 广义函数及其应用 56 4.1 广义函数的定义 56 4.1.1 历史概述 56 4.1.2 基本空间 57 4.2 广义函数的性质 59 4.2.1 广义函数方程 67 第5章 RH方法求解零边界的NLS方程 69 5.1 聚焦NLS方程 69 5.1.1 特征函数 69 5.1.2 渐近性 69 5.2 解析性和对称性 71 5.2.1 解析性 72 5.2.2 对称性 75 5.3 相关的RH问题 76 5.3.1 规范化RH问题 76 5.3.2 RH问题的可解性 78 5.4 NLS方程的N孤子解 83 5.4.1 矩阵向量解的时空演化 83 5.4.2 N孤子解公式 84 5.4.3 单孤子解 86 第6章 RH方法求解非零边界的NLS方程 88 6.1 非零边界问题 886.2 NLS方程的Lax对 89 6.3 Riemann面和单值化坐标 91 6.4 Jost函数的解析性、对称性和渐近性 94 6.4.1 Jost函数 94 6.4.2 μ±的依赖性 95 6.4.3 μ±和S(z)的解析性 96 6.4.4 μ±和S(z)的对称性 99 6.4.5 μ±和S(z)的渐近性 101 6.5 相关广义RH问题 102 6.6 离散谱和留数条件 103 6.7 RH问题的可解性 105 6.7.1 重构公式 105 6.7.2 迹公式和θ条件 106 6.7.3 无反射势情况 107 6.8 NLS方程的N孤子解 108 6.9 带有非零边界的NLS方程的双重极点解 110 6.9.1 双重极点的离散谱和留数条件 111 6.9.2 双重极点下的RH问题和重构公式 113 6.9.3 迹公式和相位差 115 6.9.4 无反射势情况和双重极点解 117 第7章 方法与可积系统 120 7.1 问题 120 7.1.1 问题的概念 120 7.1.2 广义Cauchy积分定理 122 7.1.3 广义Cauchy公式 123 7.1.4 算子的Green函数 125 7.1.5 求解问题 126 7.1.6 问题与RH问题的联系 128 7.2 ZS谱问题和NLS方程族 131 7.2.1 问题和Lax对 131 7.2.2 推导方程族 136 7.2.3 构造孤子解 139 7.2.4 谱问题的规范等价性 143 7.3 WKI谱问题和mNLS方程族 145 7.3.1 WKI谱问题 1457.3.2 mNLS方程族 146 7.3.3 孤子解 148 7.3.4 规范等价性 149 7.4 非局部问题和2+1维可积系统 150 7.4.1 2+1维谱问题 150 7.4.2 2+1维演化方程 153 7.4.3 递推算子 155 7.5 方法求解KPII方程 157 7.5.1 特征函数和Green函数 157 7.5.2 散射方程和问题 160 7.5.3 反谱问题 162 第8章 Deift-Zhou速降法分析NLS方程的渐近性 165 8.1 散焦NLS方程的特征函数 165 8.2 解析性和对称性 167 8.3 相关RH问题 171 8.4 稳态相位点和速降线172 8.5 跳跃矩阵上下三角分解 174 8.6 散射数据的有理逼近估计 177 8.7 振荡RH问题到标准RH问题形变 181 8.7.1 跳跃矩阵的解析延拓 181 8.7.2 RH问题的有理逼近 185 8.7.3 RH问题的尺度化 192 8.7.4 去除RH问题的振荡因子 196 8.7.5 对RH问题取极限 198 8.8 预解算子的一致有界性 204 8.9 标准RH问题 209 8.10 求解标准RH问题 211 8.10.1 Weber方程 211 8.10.2 NLS方程初值问题解的渐近性 215 第9章 速降法分析NLS方程在非孤子解区域中的渐近性 218 9.1 散焦NLS方程的RH问题 218 9.2 跳跃矩阵三角分解 221 9.3 散射数据的连续延拓 224 9.4 混合RH问题 227 9.5 纯问题及其解的渐近性 2319.6 散焦NLS方程的长时间渐近性 236 附录 可解的矩阵RH问题 238 第10章 速降法与NLS方程在孤子区域中的渐近性 243 10.1 初值问题的适定性和解的整体存在性 243 10.2 Lax对和谱分析 244 10.3 聚焦NLS方程的RH问题 250 10.4 跳跃矩阵三角分解 252 10.5 跳跃矩阵的连续延拓 263 10.6 混合RH问题及其分解 266 10.6.1 混合RH问题 266 10.6.2 混合RH问题分解 272 10.7 纯RH问题及其渐近性 274 10.7.1 外部孤子解区域 274 10.7.2 内部非孤子解区域 286 10.8 纯问题及其解的渐近性 293 10.9 聚焦NLS方程的孤子解区域长时间渐近性 300 附录 可解的矩阵RH问题 303 第11章 正交多项式 308 11.1 正交多项式基本概念 308 11.2 正交多项式的性质 309 11.2.1 三项递推公式 310 11.2.2 Darboux-Christoffel公式 311 11.2.3 Hankel行列式表示 313 11.3 正交多项式与Jacobi矩阵 316 11.3.1 正交多项式与Jacobi矩阵联系 316 11.3.2 正交多项式零点分布 316 11.4 正交多项式与RH问题联系 321 11.5 多重正交多项式 327 第12章 随机矩阵 329 12.1 随机矩阵系综 329 12.2.1 常见的系综 329 12.2 特征值的联合概率密度 333 12.3 随机矩阵与正交多项式联系 338 12.3.1 关联核函数 338 12.3.2 m点关联核函数 34212.4 随机矩阵与RH问题联系 344 12.5 间隙概率 344 12.6 特征值的间距分布 349 12.7 随机矩阵与Painlevé方程 350 第13章 平衡测度 352 13.1 变分法 352 13.1.1 单重积分 353 13.1.2 多未知函数 356 13.1.3 多重积分 356 13.1.4 条件极值 357 13.2 平衡测度的定义和存在性 358 13.2.1 平衡测度的定义 358 13.2.2 平衡测度的存在性 360 13.3 计算平衡测度 361 13.3.1 种方法 361 13.3.2 第二种方法 366 第14章 特殊函数与RH问题 371 14.1 Airy函数 371 14.1.1 定义和性质 371 14.1.2 渐近性 372 14.1.3 Stokes现象 375 14.1.4 RH问题刻画 377 14.2 Bessel函数 379 14.2.1 定义和性质 379 14.2.2 RH问题刻画 381 14.3 Painlevé方程 383 14.3.1 Painlevé性质 383 14.3.2 PainlevéII方程RH问题刻画 384 第15章 正交多项式的RH方法 386 15.1 正交多项式的RH问题刻画 386 15.2 规范化RH问题 387 15.3 标准RH问题 390 15.3.1 跳跃矩阵分解 390 15.3.2 形变跳跃路径 394 15.3.3 取极限 39715.4 求解标准RH问题 398 15.5 标准RH问题解的逼近 400 15.5.1 一般理论 400 15.5.2 具体应用 405 15.6 RH问题参数化构造 406 15.6.1 局部参数化 406 15.6.2 整体参数化 417 15.7 正交多项式的一致渐近性 418 15.7.1 实轴Imz=0之外 418 15.7.2 实轴Imz=0上 420 15.8 随机矩阵统计量的普适性 425 15.8.1 关联核的普适性 426 15.8.2 Fredholm行列式的普适性 429 15.8.3 m点关联核函数的普适性 430 15.8.4 Ps的渐近性 432 参考文献 437 后记 449
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