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| 編輯推薦： |
《欢乐数学》
1.这个老师懂你！10余年亲身教学中找到的快乐教学方法，让数学从可怕变可爱。没有乐趣的学习是没有灵魂的，纵使上多少辅导班也枉然。
2.充分联系生活，“身边处处是数学”，提升孩子的数学思维和理解力。城市建设离不开几何学，A4纸的尺寸是怎么来的，为什么蚂蚁从高处掉下来摔不死，从烤蛋糕、看球赛、玩桌游到买彩票、考试、遗传基因，其实所有问题都是数学问题。
3.别具一格的形式，用漫画讲数学。400 手绘火柴人漫画，独创漫画讲数学风格，不讲概念也不摆公式，用故事和笑话为你打开数学的奇妙世界，堪称数学版的 What If？
4.权威数学专家齐声称赞。高级教师、中国数学奥林匹克一级教练、北京第十八中学党总支书记魏韧，中科大数学博士、中国数学会《数学学报》编辑部主任孙云志，联袂审校推荐。
《欢乐数学之疯狂微积分》
1. 用故事讲透微积分底层思维：
这本书不讲微积分计算，也不是教材，而是聚焦“微积分思维”。
作者巧妙地把微积分思维精髓包裹在28个故事之中。这些故事来自：侦探小说（福尔摩斯）、哲学思辨（芝诺/边沁）、文学名著（托尔斯泰/马克·吐温/博尔赫斯）、生活趣事（狗狗会不
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| 內容簡介： |
《欢乐数学》
这本书就是奥尔林老师课堂的延续，书中融入了400多幅他标志性的“烂插画”、火柴人形象、幽默的笑话，书里没有几个方程式（有也是装饰），也不讲解题细节。这本书告诉所有人，数学在生活中无处不在：城市建设要用到几何学，A4纸的尺寸为什么是合理的，蚂蚁从高处掉下来为什么摔不死……从烤蛋糕、看球赛、玩桌游到买彩票、考试、遗传基因，你会发现一切问题都是数学问题。
通过所有这些有趣的例子，奥尔林老师最关注的是让所有人认识到数学真正的核心：思维。他告诉孩子和所有人，学数学不是为了无聊地秀智商，而是可以学会用数学思维看待这个世界的运行，发现数学的魅力。
《欢乐数学之疯狂微积分》
微积分与日常生活有哪些交集？
本书通过28个引人入胜的故事，展示了微积分这种语言，它可以解决我们人类每天都在努力解决的问题——爱、风险、时间，以及最重要的事情——“变化”。
书分为“瞬间”和“永恒”两部分，从夏洛克·福尔摩斯到马克·吐温，它将发掘微积分、艺术、文学和一只与猫王同名的柯基犬之间的联系。
你将看到奇怪的符号、疯狂跳跃的逻辑以及微积分的真正用途。无论是数学恐惧症患者还是数学发烧友，这都将是一本影响终生的书。
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| 關於作者： |
本·奥尔林 Ben Orlin
一个不太擅长画画但擅长讲课的数学老师，毕业于耶鲁大学数学系，教过12～18岁各种层次的数学，偶尔也讲讲心理学、生物学、英语、认识论甚至地球科学。
他是“数学和烂插画”（mathwithbaddrawings.com）博客的作者，同时也为《大西洋月刊》、线上杂志Slate 、《洛杉矶时报》和《芝加哥论坛报》撰写与数学相关的文章。
已出版中文版作品：《欢乐数学》。
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| 目錄：
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《欢乐数学》
前言……………………………………………………………………………1
第一部分 如何像数学家一样思考？
第1 章 终极井字棋：什么是数学………………………………………… 7
第2 章 学生眼中的数学什么样？………………………………………… 19
第3 章 数学家眼中的数学什么样？………………………………………21
第4 章 科学和数学眼中的彼此什么样？…………………………………30
第5 章 优秀的数学家和伟大的数学家…………………………………… 39
第二部分 设计：必须遵循的几何学
第6 章 三角形建造的城市…………………………………………………54
第7 章 怎样才是合理的纸张尺寸？……………………………………68
第8 章 立方体背后的寓言…………………………………………………77
第9 章 骰子的游戏………………………………………………………… 94
第10 章 口述：死星的历史 ……………………………………………111
第三部分 概率：描述可能性的数学
第11 章 排队买彩票时遇到的10 种人…………………… 131
第12 章 用硬币抛出的孩子 ……………………………… 150
第13 章 概率在不同职业中的角色 ……………………… 161
第14 章 千奇百怪的保险 ………………………………… 168
第15 章 如何用一枚骰子击溃全球经济 ………………… 188
第四部分 统计学：诚实说谎的艺术
第16 章 为什么不要相信统计数据 …………………………209
第17 章 最后一位打击率0.400 的传奇球员 ……………… 228
第18 章 兵临城下：科学殿堂的危机 ……………………… 241
第19 章 记分牌争夺战 ……………………………………… 259
第20 章 碎纸机的故事 ………………………………………277
第五部分 转折点：一步的力量
第21 章 最后一粒钻石粉末 ………………………………296
第22 章 纳税等级的学问 ………………………………… 309
第23 章 一个州、两个州，红色州、蓝色州 ……………323
第24 章 混沌的历史 ……………………………………… 337
尾注…………………………………………………………… 353
致谢…………………………………………………………… 393
《欢乐数学之疯狂微积分》
引言
上篇 瞬间
第1章 即逝的时间——在这一章，微积分实现了某人的愿望
第2章 不断坠落的月亮——在这一章，牛顿用微积分解释了整个宇宙
第3章 黄油吐司：昙花一现的幸福感——在这一章，微积分俘获了一颗心
第4章 全世界通用的语言——在这一章，微积分带着我们叱咤商海
第5章 当密西西比河绵延万里——在这一章，微积分捉弄了所有人
第6章 福尔摩斯的和迷路的自行车——在这一章，微积分发现了关键线索
第7章 一部未经授权的潮流传记——在这一章，微积分预测了未来
第8章 风留下了什么——在这一章，微积分设下一道迷题
第9章 如尘埃般漫天飞舞——在这一章，微积分难倒了植物学家
第10章 绿头发女孩和超时空旋涡——在这一章，一个丈夫在微积分面前相形见绌
第11章 住在海边的落难公主——在这一章，公主用微积分打下了江山
第12章 让世界变成废墟的回形针——在这一章，微积分带来了世界末日
第13章 笑到最后的曲线——在这一章，微积分改变了税收政策
第14章 嗨，小狗教授——在这一章，微积分一夜爆红
第15章 我们用微积分算一算吧——在这一章，微积分可以解决一切问题
下篇 永恒
第16章 书中那些圆圆圈圈——在这一章，微积分被切成了黄瓜片
第17章 战争与和平，还有积分学——在这一章，微积分彻底改变了历史的走向
第18章 黎曼的城市天际线——在这一章，微积分是个城市规划师
第19章 一部伟大的微积分大全——在这一章，微积分举办了一场晚宴
第20章 积分号下的故事就留在积分号下吧——在这一章，微积分得到了一个百宝箱
第21章 一挥笔就放弃了存在——在这一章，微积分抹去了68%的已知宇宙
第22章 1994年：微积分诞生的那一年——在这一章，微积分被用来监测血糖
第23章 假如一定会有痛苦——在这一章，微积分可以衡量灵魂
第24章 与众神作战——在这一章，微积分击退了罗马人的进攻
第25章 从看不见的球体说起——在这一章，微积分触及了四维空间
第26章 高耸入云的抽象果仁——在这一章，微积分只是一个注脚
第27章 加百列，吹响你的小号吧——在这一章，微积分被视为异端邪说
第28章 不可能的场景——在这一章，微积分让人烦躁
课堂笔记
参考文献
致谢
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| 內容試閱：
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这是一本关于数学的书。至少在动笔之前，我真是这么想的。
但在写的过程中，我感觉自己像在地下隧道中穿行，因为失去了信号和导航，全书的故事线就没能完全遵照原本的计划展开，这反倒让我发现了一些意外的风景。走出隧道，重见天日以后，我发现这本书里除了数学，还聊了许多其他的问题：为什么人们要买彩票？一位儿童图书作家是如何改变瑞典选举的？“哥特式”小说又是怎样定义的？电影《星球大战》（Star Wars）中，对于达斯·维德（Darth Vader）和他的银河帝国来说，建造一个巨型的球形空间站真的是明智之举吗？
这就是数学。它连接着生活中看似风马牛不相及的事物，就像超级马里奥四通八达的秘密管道。
如果你觉得数学不可能这么神奇，那也许是因为你在一个叫“学校”的地方学过数学了。如果是这样，我觉得这挺悲哀的。
2009年，我大学毕业，我想我知道为什么数学不受欢迎了：大多数学校都把这门课教得糟透了。数学是一门瑰丽的、充满想象力和逻辑的艺术。而学校里的数学课把这门艺术撕成一大碗碎纸屑，然后给学生布置了一项几乎不可能完成又乏味十足的任务——把这碗碎纸屑拼回去。既然教学方式如此，那就怪不得学生在数学面前一边哀号，一边屡战屡败，也怪不得成年人在回想自己学数学的经历时，会不寒而栗，会恶心作呕。在我看来，解决这个问题的方法显而易见：数学这门艺术，需要更好的解说和更好的解说员。
就这样，我成了一名教师。然而，自负的我并没有接受过系统的师范培训。在讲台上的第一年让我明白了一个残酷的事实：我会数学，但这不代表我会教数学，更不代表我知道这门学科对我的学生来说意味着什么。
那年9月的一天，我发起了一场令人尴尬的即兴讨论，讨论的主题是“我们为什么要学习几何”。讨论中，这些九年级的学生提出了一连串问题：成年人会分两栏写几何证明吗？工程师会在没有计算器的环境中工作吗？大人们理财的时候会经常使用菱形吗？这些问题的答案当然都是否定的。最后，我的学生们得出了结论：“我们之所以要学习数学，就是为了在考大学和找工作的时候证明自己既聪明又勤奋。”但是，在这个证明的过程中，数学本身并不重要，掌握数学和掌握举重特技没什么两样。数学不过是一种毫无意义的智力展示，是为了美化个人简历而进行的长期练习罢了。这个结论使我大受打击，更让我担忧的是，学生们对此都很信服。
那些学生说得没错，从某些角度来看，教育的确关乎竞争，如同一场零和博弈，数学在其中多少发挥了给学生分类和排序的作用。可是，他们忽略了数学更深层次的功能，这也怪我，我没向他们展示这个。
为什么说生活中的一切都以数学为基础呢？它是怎样将那些看上去毫无关联的事物（硬币和基因、骰子和股票、书和棒球）联系起来的？归根结底，数学是一种成体系的思考方式，而世界上的每一件事都得益于思考。
从2013年起，我一直在写有关数学和教育的文章，有些发表在刊物上，比如线上杂志《板岩》（Slate）、《大西洋月刊》（The Atlantic）和《洛杉矶时报》（Los Angeles Times），但大多数还是发表在我的博客“数学和烂插画”（Math with Bad Drawings）里。文章的重点明明是数学，却还是常常有人留言问我为什么不能用心画得更好一些。奇怪了，怎么没人问我为什么不烤一只香橙脆皮鸡当晚餐，却要做那些普通的家常菜呢？还不是因为我的厨艺不达标嘛。我的绘画天赋也一样，非常平庸。比起“说真的，各位，这是我尽最大努力画出来的数学”，“数学和烂插画”至少听上去没那么可怜，但对我来说，“烂插画”和“我尽最大努力画”，结果都是一样的。
有一天，为了解释一道题，我在黑板上画了一只小狗，惹得学生们哄堂大笑，正是这片笑声让我在教学上豁然开朗。对于我在绘画技艺上的笨拙表现，学生先是感到意外，然后觉得滑稽可笑，最后觉得亲切可爱。数学往往被人视为一场高段位的对决，当学生看到所谓的专家显示出自己在某件事上是全场最糟时，就会突然发现原来他也有亲切的、有血有肉的一面。如此一来，这门高高在上的学科也跟着变得可亲起来，不再有距离感。从那以后，我将“老师出糗”列为自创教学方法中的一个要素——你不太可能在任何教师培训项目中找到这个小技巧，但这真的非常管用。
在那之前，我在教室里度过了很长一段备受打击的日子。对我的学生来说，数学就像一个发霉的地下室，一串串没有意义的符号在其中拖着脚步。而孩子们只是耸耸肩，跟着这些步子，跳着没有一丝韵律和美感的舞。
但在那之后，数学课堂活跃起来了，学生们看到了远处的光亮，发现了这个地下室其实是一条秘密隧道，能够把他们所知道的一切关联起来。学生们开始努力，开始创新，开始用数学连接起不同的事物，他们有了飞跃式的进步，获得了学习中只可意会不可言传的秘籍——理解。
和教案不同，本书会跳过那些技术性的细节，也没有几个方程式。别担心，那些天书一般的方程式在这里都是装饰（硬核知识点在书后注中有详细说明）。本书关注的是我眼中数学的真正核心：思维。书中的每一部分都将带领你游览一系列景观，它们互相连通，建筑在一个简单而宏大的观点之上。你将看到，几何规则如何限制了人们对设计的选择，人们如何通过概率获得源源不断的收入，微小的增量如何引发巨变，统计数据如何帮助人们梳理混乱的历史和现实……
写这本书的时候，数学带着我游历了很多让人意想不到的地方。我希望你在读书的时候，也能体会到这种感受。
《欢乐数学之疯狂微积分》第16章
书中那些圆圆圈圈
在一个鸡尾酒会上，我举着酒杯，一边和别人小声聊天，一边注视着美味的奶酪，一切都令人十分愉快，直到有人问起我的职业。如果只看对方的面部反应，你可能会怀疑他听到的是“我就职于一个犯罪集团”，或是“我是个腐败的法官”，又或是“我是来自未来世界的时间旅行者，这次回来的任务是杀死酒会上的所有人，以阻止世界末日来临”。
事实上，我说的是，“我是一个数学老师”。
好啦，我懂了。在我和其他教数学的同事们眼中，我们的学科是可爱的。但是，当我说到“圆”这个词时，很少有学生会想到约翰·多恩的诗句（你坚定，我的圆圈才会准，我才会终结在开始的地点），或者布莱斯·帕斯卡对宇宙的看法（自然是一个无穷的球体，它的圆心无处不在，而其圆周却无处可寻）。相反，他们的大脑会机械地浮现出只记得一半的公式、课本里的练习题，以及无意识地记下的圆周率小数点后的几位数字。
我觉得自己有必要捍卫数学的荣誉，证明它属于著名的思维维恩图中重叠的那部分。所以我做了任何处在我这种境况下的人都会做的事：像老鼠偷食一样，以迅雷不及掩耳之势，从那一桌开胃小菜里抓起一小块食物——一片腌黄瓜。
“这片黄瓜的面积是多少？”我问。
有个人皱着眉说：“这可真是个奇怪的问题。”
“你说得没错！”我大声回答道，“这个问题之所以奇怪，是因为面积是用小小的正方形来定义的——平方英寸、平方厘米，甚至平方毫米……都是小正方形——而这块圆形的腌黄瓜却不能再被细分成正方形，弯曲的边缘让它的面积变得难以测量和计算。那么，我们要怎么做才能知道它的面积呢？”此时，我挥舞了一下手中的餐刀，这一动作很可能会把我的同事吓跑。
好在我还算幸运，他们明白了我的意思。
“啊，”他们说，“我们可以把它切成片。”
于是，我们用餐刀把这片黄瓜切成了8 个小楔形。经过重新排列，它们组成了一个面积与原来的圆形完全相等的新形状。
“它看起来很像一个矩形，”有人说，“求矩形的面积很容易，用长乘以高就可以了。”
“那么长度和高度分别是多少呢？”我继续问。
“嗯，长嘛，一定是黄瓜片周长的一半。而高度，嗯，是黄瓜片的半径。”
“现在，问题解决了吗？”
“不，还没有，”他们说，“它不是一个真正的矩形，它的长边不是直的，是躁动不安的。”
我补充道：“我有个更好的形容词，‘起伏不平’，所以我们该怎么办？”
专注地思考了片刻，我们拿起另一片腌黄瓜，然后把它切成了24 个更细的楔形。经过艰难的重新排列，它们组成了一个类似刚才的形状，除了长边稍微少了点儿“躁动”，稍平了一些。酒会上的其他客人则用他们那带着敬畏和钦佩的表情看着我们，也可能是怜悯和厌恶的表情——我是分辨不出这两者的区别。
“现在它更接近矩形了！”我的搭档说，“但依然不是一个真正的矩形。”
我们再次拿起一片腌黄瓜，把它切得更细了。
“这下它是矩形了吗？”我问。
只听一声叹息：“没有。它的上下两条边依然是起伏不平的。尽管起伏幅度非常微小，但依然存在。”
我补充道：“我有个更好的形容词，‘微乎其微’。”
“我们需要把黄瓜片切成无数个楔形，并且要保证每个楔形都是无穷小的。这是将它变成矩形的唯一方法，但是……这是不可能做到的，”他们迟疑地说，“不是吗？”
无论这对我们来说是否可能，在24 个世纪前，一位名叫欧多克斯（Eudoxus）的数学家在现在的土耳其做到了。我们将他的方法称作“穷竭法”（method of exhaustion），不是因为它需要你竭尽心力，而是因为某种差距会在使用这个方法的过程中逐渐被消除或“穷竭”（exhausted）。在这里，这个差距就是长边起伏不平的矩形和长边平直的完美矩形之间的差距。按照这个逻辑不断地推进下去，我们会发现，圆的面积和矩形的面积是一样的，正好等于半径和周长的一半的乘积。
或者，你可能更喜欢用等式来表示：面积= 周长/2× 半径。
就在这场鸡尾酒会的餐巾上，积分学的小苗萌芽了。首先，把一个令人头疼的物体分解成无穷小的碎片，每一片都非常非常小；然后将这些小碎片重新排列，组成更简单、更令人愉悦的集合；接下来，根据这个重新排列的组合，得出关于原始对象的结论……以上这些步骤形成了积分学的模板和蓝图。
聊到这里时，可能和我聊天的那些朋友已经把酒喝完了。这很正常。
接下来，我们会互相点头，交换名片，然后就不再说什么了。我想这就是交换名片的含义：双方心照不宣的“再也不见”的信号。
当然，也有可能他们的好奇心会被激起。如果是这样，他们就会重新把杯子斟满；我又往口袋里塞了几块奶酪。然后深吸一口气之后，我们又回到了关于数学的讨论中。
“这个公式看起来很酷，”他们说，“但并不是我在学校里记的那个公式。”
“因为这个公式是在用周长来表示面积，”我说，“不过我们目前还没有找到周长本身的表示方式。”
“那么……我们怎样才能找到呢？”
首先，请跟着我一起来个简短的历史之旅。在中国古代，有一本基础数学专著叫作《九章算术》。我感觉这个书名对数学来说太平淡无奇了，瞧瞧其他的中国古代的数学著作，叫的都是《梦溪笔谈》《四元玉鉴》这类的名字。经过几个世纪的编纂，《九章算术》涵盖了从算术到几何再到矩阵运算等内容，堪称一部具备了无与伦比的深度和完整性的“数学圣经”。
不过，这本书有一个缺点，就是书中提供了非常多的解题方法，但却没有任何对数学概念的解释，以及推导和证明过程。在我看来，这是最糟糕的教材编写方式。
而这正是魏晋时期数学家刘徽事业的切入点，虽然《九章算术》不是他写的，但他为它做了注解，这与J. K.罗琳笔下的“混血王子”在魔药书做注释的行为相似。这是一个聪明的读者，他通过给落满灰尘的旧书添加注解，为其注入了新的生命。
《九章算术》中回避了圆的周长问题，但刘徽不是个避重就轻的人。按照他的计算方法，我从水果台上抓起一把牙签，然后用它们在黄瓜片的横切面上摆了一个三角形，如下图所示：
“瞧！”我宣布，“这就是圆的周长！”
我的同事扬起眉毛，一脸疑惑。
“三角形的每条边都是圆的直径的2/√3倍，”我解释道，“因此，整个周长是直径的3√3/2 倍，也可以说大约是2.6倍。”
“但那是三角形的周长，”他们回答道，“不是圆形的。”
“你说得没错，”我说，“但是谁能测量曲线的长度呢？我们只能通过直线来计算近似值呀。”
“好吧，如果你这么不严谨的话，”他们皱着眉头说，“那最好还是放弃这种数学难题吧。”我没有直接回应，而是快速地重新排列了牙签，使三角形的边数加倍，从3 条边增加到6 条边，如下图所示：
“看看这个正六边形！”我说，“它的周长是直径的3 倍。这就是黄瓜片的真实周长，对吗？”
还差得远呢，现在我们不过是重现了《九章算术》中的估算过程。请和我一起，继续跟随刘徽的脚步，通过更多的“咔嚓”（掰断牙签的声音）和重新排列，得到了一个正十二边形：
经过在餐巾背面打草稿计算，最终得出正十二边形的周长是圆直径的（ 3√6－3√2）倍，也可以说大约是3.11 倍。
更接近圆了，但这仍然不是圆的周长，并不完全准确。
刘徽在《九章算术注》中写道：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。”这个过程永远不会真正结束，但它会向真理靠拢。牙签断裂成越来越小的碎片；在永恒尽头的某个地方，这个过程以无数个碎片的形态结束，每一个碎片都是无穷小的，而它们的总和就是这个圆的周长。
刘徽计算到正192 边形。南北朝时期的数学家祖冲之则更进一步，计算到正3072 边形，他得到的估算结果已经相当准确了，领先了其他国家1 000多年。祖冲之估算的圆的周长是，直径乘以3.1415926。
这个数听起来是不是很熟悉？
对今天的圆周率爱好者们来说，每年的“圆周率日”，以及背诵圆周率小数点后几百位数字的活动，已经不是什么新鲜事儿。15 世纪，印度和波斯的学者运用积分学的基本原理，将圆周率精确地计算到小数点后第15 位。
19 世纪，坚持不懈的威廉·尚克斯（William Shanks）花了10 年时间将圆周率计算到小数点后第707 位，其中前527 位是正确的。今天，超级计算机早已将圆周率精确到万亿位；如果把这些数字打印出来装订成册，那它的规模将堪比哈佛大学的图书馆——和很多人眼中的图书馆一样枯燥乏味。
在圆周率这个问题上，有无数的数字在前面等着我们，我们从未像现在这样接近终点。然而，就算知道了这些新的数字也毫无意义，因为我们几乎永远不会用到后50 位、60 位，甚至100 位小数。那么，我们为什么要在圆周率上面耗费那么多精力呢？
在我看来，原因很简单。人类会看，会思考，也试图去测量。圆的周长是我们现实生活中的一个特征常数，就像地球的质量、地球到月球的距离，或是银河系中的恒星数量。事实上，圆周率比这些数字更加稳定，因为圆周率不会随时间波动，是逻辑宇宙中的一个固定常数。波兰女诗人、诺贝尔文学奖得主维斯拉瓦·辛波斯卡（Wislawa Szymborska）曾写过一首诗赞美圆周率：“组成圆周率的数字列队行进逶迤……越过墙壁、树叶、鸟巢、云霓，直上九霄，穿过广袤无垠的天际……”
古代的数学家们把圆分成无数个小碎片，每个碎片都是无穷小的。他们这样做是为了更好地了解整体，即从碎片求面积，从碎片求周长。回望历史的进程，我们可以看出这些古老的努力意味着什么：积分学的黎明到来了。
我把这本书中积分学的部分命名为“永恒”，主要是因为它和“瞬间”搭配在一起显得富有诗意。如果你喜欢，也可以把这些“瞬间＋永恒”的完整故事称为“史诗”“全集”或“海洋”，等等。
聊到这里，我的交谈对象向下扫了一眼。我跟着他的目光，看到地毯上撒满了一截截的牙签和黄瓜碎片。“我们是不是该把这里清理干净？”我说。但是我的话音刚落，这位朋友就转身离开了，只留下一丝痕迹——它悄无声息地溜进我的手中，直到这时，我才注意到那是一张名片。
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