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　0.10　基的变换37 　0.11　等价关系39 第1章　特征值，特征向量和相似性40 　1.0　引言40 　1.1　特征值特征向量方程41 　1.2　特征多项式与代数重数44 　1.3　相似性51 　1.4　左右特征向量与几何重数67 第2章　酉相似与酉等价74 　2.0　引言74 　2.1　酉矩阵与QR分解74 　2.2　酉相似83 　2.3　酉三角化以及实正交三角化89 　2.4　Schur三角化定理的推论95 　2.5　正规矩阵115 　2.6　酉等价与奇异值分解130 　2.7　CS分解140 第3章　相似的标准型与三角分解的标准型143 　3.0　引言143 　3.1　Jordan标准型定理144 　3.2　Jordan标准型的推论153 　3.3　极小多项式和友矩阵167 　3.4　实Jordan标准型与实Weyr标准型175 　3.5　三角分解与标准型188 第4章　Hermite矩阵，对称矩阵以及相合195 　4.0　引言195 　4.1　Hermite矩阵的性质及其特征刻画196 　4.2　变分特征以及子空间的交203 　4.3　Hermite矩阵的特征值不等式206 　4.4　酉相合与复对称矩阵225 　4.5　相合以及对角化242 　4.6　共轭相似以及共轭对角化259 第5章　向量的范数与矩阵的范数270 　5.0　导言270 　5.1　范数的定义与内积的定义270 　5.2　范数的例子与内积的例子275 　5.3　范数的代数性质279 　5.4　范数的解析性质279 　5.5　范数的对偶以及几何性质288 　5.6　矩阵范数293 　5.7　矩阵上的向量范数319 　5.8　条件数：逆矩阵与线性方程组328 第6章　特征值的位置与摄动333 　6.0　引言333 　6.1　Gergorin 圆盘333 　6.2　Gergorin 圆盘——更仔细的研究340 　6.3　特征值摄动定理348 　6.4　其他的特征值包容集355 第7章　正定矩阵以及半正定矩阵365 　7.0　引言365 　7.1　定义与性质368 　7.2　特征刻画以及性质375 　7.3　极分解与奇异值分解384 　7.4　极分解与奇异值分解的推论392 　7.5　Schur乘积定理408 　7.6　同时对角化，乘积以及凸性415 　7.7　Loewner偏序以及分块矩阵421 　7.8　与正定矩阵有关的不等式433 第8章　正的矩阵与非负的矩阵442 　8.0　引言442 　8.1　不等式以及推广444 　8.2　正的矩阵448 　8.3　非负的矩阵452 　8.4　不可约的非负矩阵456 　8.5　本原矩阵461 　8.6　一个一般性的极限定理466 　8.7　随机矩阵与双随机矩阵468 附录473 　附录A　复数473 　附录B　凸集与凸函数474 　附录C　代数基本定理476 　附录D　多项式零点的连续性以及矩阵特征值的连续性476 　附录E　连续性，紧性以及Weierstrass定理477 　附录F　标准对478 参考文献480 记号484 问题提示486 索引509 內容試閱： 第0章　综述与杂叙 0.0　引言 在首章我们要总结许多有用的概念和结果，其中的一些内容给本书其余部分的材料提供了基础.这部分材料中有一些已包含在规范的线性代数的初等课程之中，不过我们还另外增加了一些有用的内容，尽管这些内容在后面的阐释中并不出现.读者可以将这一章当作本书第1章中主要部分开始讲述之前的一个温习热身；其后，它还可以被用作后续章节中遇到的记号和定义的一个方便的参考资料.我们假设读者已经熟悉线性代数的基本概念以及类似矩阵乘法和矩阵加法这样的矩阵运算的技术手段. 0.1　向量空间 有限维的向量空间是矩阵分析的基本架构. 0.1.1　纯量域 构成向量空间的基础是它的域（field），或者说是纯量的集合.就我们的目的而言，典型的基础域是实数R或者复数C（见附录A），不过它也可以是有理数，以一个特殊的素数为模的整数，或者是某个另外的域.当域被指定时，我们就用符号F来表示它.为验证它是一个域，集合必须关于两个二元运算“加法”与“乘法”是封闭的.这两个运算都必须满足结合律和交换律，且在该集合中每一运算都需有一个单位元；对于加法，每一元素在该集合中都必须有逆元存在，而对于乘法，除了加法的单位元之外，其他每一元素在该集合中也都必须有逆元存在；乘法关于加法必须是可分配的. 0.1.2　向量空间 域F上的一个向量空间（vector space）V是一组对象（称为向量）的集合V，它关于一个满足结合律和交换律的二元运算（“加法”）封闭，有一个单位元（零向量，记为0）1并且加法在该集合中有逆元.该集合关于用纯量域F中的元素进行向量的“数乘”运算也是封闭的，且对所有a,b∈F以及所有x,y∈V有下述性质：a（x+y）=ax+ay，（a+b）x=ax+bx，a（bx）=（ab）x，又对乘法单位元e∈F有ex=x. 对给定的域F和给定的正整数n，由F中的元素形成的n元数组的集合Fn在Fn中逐个元素相加的加法之下构成F上的一个向量空间.我们约定Fn中的元素总是表示成列向量，通常称之为n元向量（n-vector）.特殊的例子Rn和Cn是这本书中基本的向量空间,Rn是一个实向量空间（即它是实数域上的向量空间）,而Cn既是实向量空间，又是复向量空间（即复数域上的向量空间）.实系数或者复系数（不高于一个指定次数或者任意次数的）多项式的集合以及在R或者C的子集合上的实值函数或者复值函数的集合（全都带有通常的函数加法以及数与函数的乘法的概念）也都是实的或者复的向量空间的例子. 0.1.3　子空间，生成子空间以及线性组合 域F上的向量空间V的一个子空间（subspace）是V的一个子集，其本身也是F上的一个向量空间，它有与V中同样的向量加法以及数乘运算.确切地说，V的一个子集是一个子空间，当然，前提是它关于这两个运算是封闭的.例如，｛［a,b,0］T:a,b∈R｝是R3的一个子空间，转置记号见（0.2.5）.子空间的交总是一个子空间，子空间的并不一定还是一个子空间.子集｛0｝和V永远是V的子空间，所以它们常被称为平凡的子空间（trivial subspace）；V的一个子空间称为非平凡的（nontrivial），如果它异于｛0｝和V.V的一个子空间称为真子空间（proper subspace），如果它不等于V.我们把｛0｝称为零向量空间（zero vector space）.由于一个向量空间总是包含零向量，故而子空间不可能是空的. 如果S是域F上向量空间V的一个子集，则S的生成子空间spanS是V中所有包含S的子空间的交.如果S非空，那么spanS=｛a1v1+…+akvk:v1,…,vk∈S,a1,…,ak∈F,k=1,2,…｝；如果S是空集，则它包含在V的每一个子空间中.V的每个子空间的交就是子空间｛0｝，故而此定义确保spanS=｛0｝.注意，即使S不是子空间，spanS也总是一个子空间；S称为spanV，如果spanS=V. 域F上向量空间V中向量的一个线性组合（linear combination）是任意一个形如a1v1+…+akvk的表达式，其中k是正整数，a1,…,ak∈F，而v1,…,vk∈V.于是，V的一个非空子集S的生成子空间就由S中有限多个向量的所有线性组合组成.线性组合a1v1+…+akvk是平凡的（trivial），如果a1=…=ak=0；反之，它就是非平凡的（nontrivial）.根据定义，一个线性组合就是向量空间中有限多个元素的和. 设S1和S2是域F上一个向量空间的子空间.S1与S2的和（sum）是子空间S1+S2=span｛S1∪S2｝=｛x+y:x∈S1,y∈S2｝如果S1∩S2=｛0｝，我们就说S1与S2的和是直和（direct sum），并将它记为S1?S2；每一个z∈S1?S2都可以用唯一一种方式表示成z=x+y，其中x∈S1，而y∈S2.2 0.1.4　线性相关与线性无关 我们称域F上向量空间V中有限多个向量v1,…,vk是线性相关的（linearly dependent），当且仅当存在不全为零的纯量a1,…,ak∈F，使得a1v1+…+akvk=0.于是，一组向量v1,…,vk是线性相关的，当且仅当v1,…,vk的某个非平凡的线性组合是零向量.通常更为方便的是说“v1,…,vk是线性相关的”，而不用更为正式的说法“一组向量v1,…,vk是线性相关的”.称向量组v1,…,vk的长度（length）为k.有两个或者更多个向量的向量组是线性相关的，如果这些向量中有一个是其余向量中某一些的线性组合.特别地，至少含有两个向量且有两个向量相等的向量组是线性相关的.两个向量是线性相关的，当且仅当其中一个是另一个的纯量倍数.仅由零向量组成的一组向量是线性相关的，因为对a1=1有a10=0. 域F上的向量空间V中的有限多个向量v1,…,vk的向量组是线性无关的（linearly independent），如果它不是线性相关的.再次可以方便地说成“v1,…,vk是线性无关的”，而不说“一组向量v1,…,vk是线性无关的”. 有时会遇到一组自然状态的向量，它们有无穷多个元素，例如，所有实系数多项式组成的向量空间中的单项式1,t,t2,t3,…，以及以［0,2π］为周期的复值连续函数组成的向量空间中的复指数1,eit,e2it,e3it,…. 如果在一个向量组（有限或者无限的）中去掉某些向量，则得到的向量组是原来向量组的一个子向量组（sublist）.一个有无穷多个向量的向量组称为是线性相关的，如果它的某个有限的子向量组是线性相关的；它称为是线性无关的，如果它的任何一个有限的子向量组是线性无关的。线性无关的向量组的任意一个子向量组都是线性无关的，而具有一组线性相关的子向量组的任何一组向量都是线性相关的.由于仅由零向量组成的向量组是线性相关的，因而包含零向量的任意一组向量都是线性相关的.有可能一组向量是线性相关的，然而它的任意一个真子向量组都是线性无关的，见（1.4.P12）.一组空向量组不是线性相关的，故而它是线性无关的. 一个有限集合的基数（cardinality）是它的（必定不相同的）元素的个数.对于向量空间V中一组给定的向量v1,…,vk，集合｛v1,…,vk｝的基数小于k，当且仅当该组中至少有两个向量是相同的；如果v1,…,vk线性无关，那么集合｛v1,…,vk｝的基数就是k.一组向量（有限或无限多个）的生成子空间（span）是该组中元素集合的生成子空间；一组向量张成V，如果V是这组向量的生成子空间. 称向量的集合S是线性无关的，如果S中每一组有限多个不同的向量都是线性无关的；称S是线性相关的，如果S中某一组有限多个不同的向量是线性相关的. 0.1.5　基 向量空间V中一组以V作为其生成子空间的线性无关的向量称为V的一组基（basis）.V的每一个元素都可以用唯一一种方式表示成基中向量的线性组合,而只要向基中添加或者从基中删除任何一个向量，这一结论就不再成立.V中一组线性无关的向量是V的一组基，当且仅当任何一组包含它作为真子集的向量都不会是线性无关的.一组生成V的向量是V的一组基，当且仅当它的任何一个真子集都不可能生成V.空的向量组是零向量空间的基.3 0.1.6　扩充成基 向量空间V中任何一组线性无关的向量看起来都可以用多于一种方式扩充成为V的一组基.向量空间可以有非有限的基，例如，无限多个单项式1,t,t2,t3,…就是所有实系数多项式组成的实向量空间的一组基，每一个多项式都是这组基中（有限多个）元素的唯一的线性组合.

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