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| 編輯推薦： |
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本书由计算机图形学领域资深专家约翰·文斯精心撰写，是计算机科学专业学生的理想数学入门教材。书中构建了计算机科学领域数学基础的完整知识体系，涵盖数论、计数、代数、逻辑、组合数学等众多核心内容。作者以视觉化方法为核心，通过160多幅插图、90多张表格及典型例题，将抽象数学概念转化为直观的视觉模型，让读者轻松理解。例题紧密结合实际应用场景，帮助读者学会运用数学知识解决实际问题，提升能力。无论是初学者夯实基础，还是进阶者拓展视野，都能从本书中获益。
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| 內容簡介： |
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本书以视觉化方法为核心，构建了计算机科学领域数学基础的完整知识体系，涵盖数论、计数、代数、逻辑、组合数学、概率论、模运算、三角学、坐标系、矩阵变换、微分与积分学等核心内容，并通过160多幅插图、90多张表格及典型例题，将抽象数学概念转化为直观的视觉模型，同时搭配紧密结合计算机实际应用场景的典型例题，帮助读者掌握将数学知识应用于实际问题的能力。本书适合那些希望比较全面地了解计算机专业所必备的数学基础的学生以及相关从业人员阅读。无论是初学者夯实基础，还是进阶者拓展视野，都能从中获益匪浅。
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| 關於作者： |
约翰·文斯（John Vince）
计算机图形学领域资深专家，自1968年起深耕该领域，研发了PICASO、PRISM动画系统，设计了英国首个计算机图形学理学硕士课程，还为电视设计师开设了热门计算机动画短期课程。
他曾任职雷迪福森模拟公司研究顾问、汤姆森训练模拟有限公司首席科学家，参与商用飞行模拟器系统研发；后任伯恩茅斯大学国家计算机动画中心数字媒体教授、学术组组长。累计撰写、主编50余本计算机图形学、动画与虚拟现实著作，学术与实践功底深厚。
蔡国扬，中山大学计算机科学系教师，硕士生导师。拥有中山大学计算机科学硕士学位（1989）和清华大学计算机技术学士学位（1986）。研究方向包括可信操作系统分析与设计、信息系统与网络安全、工业控制系统信息安全、大型软件工程方法等。主讲离散数学、图论及算法、数据结构、操作系统、信息安全技术、软件测试、信息论与编码等课程。
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| 目錄：
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目 录
译者序
前言
第1章 可视化数学 ………………………1
1.1 引言 ………………………………………1
1.2 视觉型大脑对比分析型大脑 ………1
1.3 数学的学习 ……………………………2
1.4 是什么令数学变得困难 ………………2
1.5 数学存在于我们的大脑之外吗 ……2
1.6 符号和表示法 …………………………3
第2章 数 ……………………………………5
2.1 引言 ………………………………………5
2.2 计数 ………………………………………5
2.3 数的集合 ………………………………6
2.4 零 …………………………………………7
2.5 负数 ………………………………………7
2.6 观察和公理 …………………………9
2.6.1 交换律………………………9
2.6.2 结合律………………………9
2.6.3 分配律………………………9
2.7 数的类型 ……………………………10
2.7.1 自然数………………………10
2.7.2 整数…………………………10
2.7.3 有理数………………………10
2.7.4 无理数………………………11
2.7.5 实数…………………………11
2.7.6 代数数和超越数………………11
2.7.7 虚数…………………………12
2.7.8 复数…………………………13
2.7.9 四元数和八元数………………14
2.8 素数 ……………………………………14
2.8.1 算术基本定理…………………15
2.8.2 数1是素数吗…………………16
2.8.3 哥德巴赫猜想…………………16
2.8.4 素数的分布……………………17
2.8.5 素数的无穷性…………………18
2.8.6 梅森数………………………18
2.9 完满数 ………………………………18
2.10 三角形数……………………………19
2.11 无穷…………………………………19
2.12 例题 …………………………………20
2.12.1 代数展开……………………20
2.12.2 复数…………………………20
2.12.3 四元数………………………20
参考文献…………………………………21
第3章 计数系统 …………………………22
3.1 引言 ……………………………………22
3.2 十进位系统 …………………………22
3.2.1 背景…………………………22
3.2.2 二进制数……………………23
3.2.3 八进制数……………………23
3.2.4 十六进制数……………………24
3.3 将十进制转换为二进制、八进制和十六进制 ……………………………24
3.3.1 将十进制转换为二进制………24
3.3.2 将十进制转换为八进制………26
3.3.3 将十进制转换为十六进制……26
3.4 二进制数和八进制数之间的转换 …27
3.5 二进制数和十六进制数之间的
转换……………………………………29
3.6 二进制数的加法和减法 ……………30
3.6.1 二进制数加法…………………30
3.6.2 利用二进制补码的二进制数
减法…………………………31
3.7 十进制数的加法和减法 ……………31
3.7.1 十进制数加法…………………31
3.7.2 利用十进制补码的十进制数
减法…………………………32
3.8 八进制数的加法和减法 ……………32
3.8.1 八进制数加法…………………32
3.8.2 利用八进制补码的八进制数
减法…………………………33
3.9 总结 ……………………………………33
3.10 例题…………………………………33
3.10.1 将十进制数转换为二进制数 …33
3.10.2 利用算法将十进制数转换为
二进制数 …………………34
3.10.3 将二进制数转换为十进制数 …34
3.10.4 将二进制数转换为八进制数 …34
3.10.5 将八进制数转换为二进制数 …34
3.10.6 将八进制数转换为十六进
制数 ………………………35
3.10.7 将十六进制数转换为八进
制数 ………………………35
3.10.8 将十进制数转换为八进制数 …35
3.10.9 利用算法将十进制数转换为八进制数 ……………………35
3.10.10 将十进制数转换为十六进
制数 ………………………36
3.10.11 二进制数加法………………36
3.10.12 二进制数减法………………36
3.10.13 八进制数加法………………37
3.10.14 八进制数减法………………37
3.10.15 十六进制数加法……………37
第4章 代数 ………………………………38
4.1 引言 ……………………………………38
4.2 背景 ……………………………………38
4.3 表示法 ………………………………39
4.4 指数 ……………………………………43
4.5 对数 ……………………………………44
4.6 更多的表示法 ………………………45
4.7 函数 ……………………………………45
4.7.1 显式方程和隐式方程…………46
4.7.2 函数表示法……………………46
4.7.3 区间…………………………47
4.7.4 函数的定义域和值域…………47
4.7.5 奇函数和偶函数………………48
4.7.6 幂函数………………………49
4.8 级数 ……………………………………49
4.9 二项式定理 …………………………50
4.10 总结 …………………………………51
4.11 例题 …………………………………51
4.11.1 代数运算……………………51
4.11.2 求解二次方程………………52
4.11.3 因式分解……………………54
4.11.4 二项式定理…………………54
参考文献…………………………………54
第5章 逻辑 ………………………………55
5.1 引言 ……………………………………55
5.2 背景 ……………………………………55
5.3 真值表………………………………56
5.4 逻辑前提……………………………57
5.4.1 实质等价性……………………57
5.4.2 蕴涵…………………………57
5.4.3 否定…………………………57
5.4.4 合取…………………………58
5.4.5 可兼析取……………………58
5.4.6 互斥析取……………………58
5.4.7 幂等性………………………58
5.4.8 可交换性……………………59
5.4.9 结合性………………………59
5.4.10 分配性………………………60
5.4.11 德·摩根律…………………61
5.4.12 简化…………………………61
5.4.13 排中…………………………61
5.4.14 矛盾…………………………61
5.4.15 双重否定……………………62
5.4.16 蕴涵与等价…………………62
5.4.17 输出规则……………………62
5.4.18 假言易位……………………63
5.4.19 归谬…………………………63
5.4.20 假言推理……………………64
5.4.21 例证…………………………64
5.5 集合论 ………………………………65
5.5.1 空集…………………………66
5.5.2 成员关系和集合的基数………66
5.5.3 子集、超集和全集……………66
5.5.4 集合的构建……………………67
5.5.5 并集…………………………67
5.5.6 交集…………………………68
5.5.7 相对补集……………………68
5.5.8 绝对补集……………………69
5.5.9 幂集…………………………69
5.6 例题 ……………………………………69
5.6.1 真值表………………………69
5.6.2 集合的构建……………………70
5.6.3 集合的交、并和补……………70
5.6.4 幂集…………………………70
第6章 组合数学 …………………………71
6.1 引言 ……………………………………71
6.2 排列 ……………………………………71
6.3 多重集的排列 ………………………73
6.4 组合 ……………………………………75
6.5 例题 ……………………………………76
6.5.1 多重集的8排列………………76
6.5.2 排列的数量……………………78
6.5.3 五张牌的组合数………………78
6.5.4 与100个人握手………………78
6.5.5 MISSISSIPPI的排列…………78
第7章 概率 ………………………………79
7.1 引言 ……………………………………79
7.2 定义和表示法 ………………………79
7.2.1 独立事件……………………81
7.2.2 相依事件……………………81
7.2.3 互斥事件……………………82
7.2.4 包含事件……………………83
7.2.5 组合概率……………………83
7.3 例题…………………………………86
7.3.1 概率的乘积……………………86
7.3.2 书的排列……………………86
7.3.3 赢得一次乐透彩票……………86
7.3.4 掷两次骰子……………………86
7.3.5 掷两次骰子的点数总和为7……86
7.3.6 掷两次骰子的点数总和为4……87
7.3.7 发出一张红A…………………87
7.3.8 连续选中四张A………………87
7.3.9 扑克牌的选择…………………87
7.3.10 从一个袋子中选择四个球……87
7.3.11 组建团队……………………88
7.3.12 发出五张牌 …………………89
第8章 模算术 ……………………………90
8.1 引言 ……………………………………90
8.2 非形式化定义 ………………………90
8.3 表示法………………………………91
8.4 同余 ……………………………………91
8.5 负数 ……………………………………91
8.6 算术运算 ……………………………92
8.6.1 数的求和……………………92
8.6.2 乘积…………………………93
8.6.3 乘以一个常数…………………93
8.6.4 同余对………………………94
8.6.5 乘法逆元……………………94
8.6.6 以一个素数为模数……………95
8.6.7 费马小定理……………………97
8.7 模算术的应用 ………………………98
8.7.1 ISBN奇偶校验………………98
8.7.2 IBAN校验位…………………99
8.8 例题 ……………………………………100
8.8.1 负数………………………100
8.8.2 数的求和…………………100
8.8.3 乘积的余数…………………101
8.8.4 乘法逆元…………………101
8.8.5 模数13的乘积表…………101
8.8.6 ISBN校验位………………102
参考文献 ……………………………………102
第9章 三角学 ……………………………103
9.1 引言 ……………………………………103
9.2 背景 ……………………………………103
9.3 角度测量的单位 ……………………103
9.4 三角比 ………………………………104
9.5 反三角比 ……………………………106
9.6 三角恒等式 …………………………106
9.7 正弦法则 ……………………………107
9.8 余弦法则……………………………107
9.9 复合角度的恒等式 …………………108
9.9.1 二倍角恒等式………………109
9.9.2 多倍角恒等式………………110
9.9.3 半角恒等式…………………110
9.10 角度与周长的关系 ………………111
9.11 例题 …………………………………111
9.11.1 角度到弧度的转换………111
9.11.2 正弦法则…………………111
9.11.3 余弦法则…………………112
9.11.4 复合角度…………………112
9.11.5 二倍角恒等式……………112
9.11.6 角度与周长的关系………113
第10章 坐标系 …………………………114
10.1 引言 …………………………………114
10.2 背景 …………………………………114
10.3 笛卡儿平面…………………………115
10.4 函数图像 ……………………………115
10.5 形状的表示 …………………………115
10.5.1 二维多边形………………116
10.5.2 形状的面积………………116
10.6 二维毕达哥拉斯定理 ……………117
10.7 三维笛卡儿坐标 …………………117
10.8 极坐标 ………………………………118
10.9 球极坐标 ……………………………119
10.10 柱面坐标 …………………………119
10.11 重心坐标…………………………120
10.12 齐次坐标 …………………………120
10.13 例题 ………………………………121
10.13.1 形状的面积………………121
10.13.2 两点之间的距离…………121
10.13.3 极坐标…………………121
10.13.4 球极坐标………………122
10.13.5 柱面坐标………………122
10.13.6 重心坐标………………123
参考文献 ……………………………………123
第11章 行列式 …………………………124
11.1 引言 …………………………………124
11.2 背景…………………………………124
11.3 二元线性方程 ………………………125
11.4 三元线性方程 ………………………128
11.5 数学表示法 …………………………134
11.5.1 矩阵………………………134
11.5.2 行列式的阶………………134
11.5.3 行列式的值………………134
11.5.4 行列式的性质……………136
11.6 例题 …………………………………136
11.6.1 行列式展开………………136
11.6.2 复数行列式………………137
11.6.3 简单展开式………………137
11.6.4 联立方程组………………137
第12章 向量 ……………………………139
12.1 引言 …………………………………139
12.2 背景 …………………………………139
12.3 二维向量 ……………………………140
12.3.1 向量表示法………………140
12.3.2 向量的图解………………141
12.3.3 向量的大小………………141
12.4 三维向量……………………………142
12.4.1 向量的处理………………142
12.4.2 向量的缩放………………143
12.4.3 向量的加法和减法………143
12.4.4 位置向量…………………144
12.4.5 单位向量…………………144
12.4.6 笛卡儿向量………………145
12.4.7 乘积………………………145
12.4.8 标量积……………………145
12.4.9 光照计算中的点积………146
12.4.10 后向面检测中的标量积……147
12.4.11 向量积…………………148
12.4.12 右手法则………………151
12.5 推导三角形的单位法向量…………152
12.6 表面积 ………………………………152
12.7 总结 …………………………………153
12.8 例题 …………………………………153
12.8.1 位置向量…………………153
12.8.2 单位向量…………………153
12.8.3 向量的大小………………154
12.8.4 两个向量之间的夹角……154
12.8.5 向量积……………………154
参考文献 ……………………………………155
第13章 复数 ……………………………156
13.1 引言 …………………………………156
13.2 复数的表示 …………………………156
13.2.1 复数集合…………………156
13.2.2 实部和虚部………………156
13.2.3 复平面……………………157
13.3 复代数 ………………………………157
13.3.1 代数定律…………………157
13.3.2 复共轭……………………158
13.3.3 复数除法…………………159
13.3.4 i的幂……………………160
13.3.5 i的旋转特性………………160
13.3.6 模和辐角…………………161
13.3.7 复数的范数………………163
13.3.8 复数的逆元………………164
13.3.9 复指数……………………165
13.3.10 棣莫弗定理………………168
13.3.11 单位元的n次方根………170
13.3.12 复数的n次方根…………171
13.3.13 复数的对数………………172
13.3.14 复数的幂………………173
13.3.15 简单复函数的可视化……174
13.3.16 双曲函数………………176
13.4 总结 …………………………………177
13.5 例题 …………………………………177
13.5.1 复数的加法………………177
13.5.2 复数的乘法………………177
13.5.3 复数的除法………………178
13.5.4 复数的旋转………………178
13.5.5 极坐标表示法……………178
13.5.6 实部和虚部………………179
13.5.7 复数的大小………………179
13.5.8 复数的范数………………180
13.5.9 复数的逆元………………180
13.5.10 棣莫弗定理………………180
13.5.11 单位元的n次方根………182
13.5.12 复数的根………………182
13.5.13 复数的对数………………183
13.5.14 复数的幂………………183
参考文献 ……………………………………184
第14章 矩阵 ……………………………185
14.1 引言 …………………………………185
14.2 几何变换 ……………………………185
14.3 变换和矩阵 …………………………186
14.4 矩阵表示法 …………………………189
14.4.1 矩阵的维数或者阶………189
14.4.2 方阵………………………189
14.4.3 列向量……………………189
14.4.4 行向量……………………190
14.4.5 零矩阵……………………190
14.4.6 单位矩阵…………………190
14.4.7 迹…………………………190
14.4.8 矩阵的行列式……………191
14.4.9 转置………………………192
14.4.10 对称矩阵………………193
14.4.11 反对称矩阵………………194
14.5 矩阵的加法和减法 ………………196
14.6 矩阵的乘积…………………………197
14.6.1 行向量和列向量…………197
14.6.2 行向量和矩阵……………198
14.6.3 矩阵和列向量……………198
14.6.4 方阵………………………199
14.6.5 矩形矩阵…………………200
14.7 逆矩阵 ………………………………200
14.8 正交矩阵 ……………………………207
14.9 对角矩阵 ……………………………208
14.10 例题 ………………………………208
14.10.1 矩阵的逆………………208
14.10.2 单位矩阵………………209
14.10.3 利用矩阵求解两个方程……209
14.10.4 利用矩阵求解三个方程……210
14.10.5 利用矩阵求解复数方
程组 ……………………211
第15章 几何矩阵变换 …………………216
15.1 引言 …………………………………216
15.2 矩阵变换 ……………………………216
15.2.1 二维平移…………………216
15.2.2 二维缩放…………………217
15.2.3 二维反射…………………218
15.2.4 二维剪切…………………220
15.2.5 二维旋转…………………220
15.2.6 矩阵形式的二维缩放……222
15.2.7 矩阵形式的二维反射……222
15.2.8 围绕任意点的二维旋转……223
15.3 三维变换 ……………………………224
15.3.1 三维平移…………………224
15.3.2 三维缩放…………………224
15.3.3 三维旋转…………………225
15.3.4 围绕一个轴旋转…………227
15.3.5 三维反射…………………228
15.4 围绕一个任意轴旋转一个点………229
15.5 变换的行列式 ………………………231
15.6 透视投影 ……………………………232
15.7 例题 …………………………………234
15.7.1 二维缩放和平移…………234
15.7.2 二维旋转…………………234
15.7.3 旋转变换的行列式………235
15.7.4 剪切变换的行列式………235
15.7.5 偏航、俯仰和横滚变换……236
15.7.6 围绕任意轴旋转…………236
15.7.7 三维旋转变换矩阵………237
15.7.8 透视投影…………………238
第16章 微积分：导数 …………………239
16.1 引言 …………………………………239
16.2 背景 …………………………………239
16.3 小的数字量…………………………240
16.4 方程与极限…………………………241
16.4.1 二次函数…………………241
16.4.2 三次方程…………………242
16.4.3 函数与极限的分析………244
16.4.4 导数的图形解释…………245
16.4.5 导数和微分………………246
16.4.6 积分和反导数……………246
16.5 函数类型 ……………………………247
16.6 求函数组的微分 …………………248
16.6.1 函数的和…………………248
16.6.2 复合函数…………………249
16.6.3 函数的乘积………………252
16.6.4 函数的商…………………255
16.7 求隐函数的微分 …………………257
16.8 求指数函数和对数函数的微分 …259
16.8.1 指数函数…………………259
16.8.2 对数函数…………………261
16.9 求三角函数的微分 ………………262
16.9.1 求tan的微分……………262
16.9.2 求csc的微分……………263
16.9.3 求sec的微分……………263
16.9.4 求cot的微分……………264
16.9.5 求arcsin、arccos和arctan
的微分 …………………264
16.9.6 求arccsc、arcsec和arccot
的微分 …………………265
16.10 求双曲函数的微分 ………………266
16.11 高阶导数…………………………268
16.12 多项式的高阶导数 ………………268
16.13 局部最大值或者最小值的确定 …270
16.14 偏导数 ……………………………271
16.14.1 偏导数的可视化…………273
16.14.2 混合偏导数………………274
16.15 链式法则…………………………275
16.16 全导数 ……………………………277
16.17 幂级数 ……………………………278
16.18 例题 ………………………………280
16.18.1 反导数1…………………280
16.18.2 反导数2…………………281
16.18.3 求函数和的微分…………281
16.18.4 求函数乘积的微分………281
16.18.5 求隐函数的微分…………281
16.18.6 求一般隐函数的微分……282
16.18.7 局部最大值或者局部最
小值 ……………………282
16.18.8 偏导数…………………283
16.18.9 混合偏导数1……………283
16.18.10 混合偏导数2…………284
16.18.11 全导数…………………284
第17章 微积分：积分 …………………285
17.1 引言 …………………………………285
17.2 不定积分 ……………………………285
17.3 积分技术 ……………………………286
17.3.1 连续函数…………………286
17.3.2 难以处理的函数…………286
17.3.3 三角恒等式………………287
17.4 总结…………………………………302
17.5 例题 …………………………………302
17.5.1 求包含其自身导数的函数的
积分 ……………………302
17.5.2 将一个积分分成几个积分……303
17.5.3 分部积分1………………303
17.5.4 分部积分2………………304
17.5.5 换元积分1………………305
17.5.6 换元积分2………………306
17.5.7 换元积分3………………307
17.5.8 部分分式积分……………307
第18章 面积 ……………………………309
18.1 引言 …………………………………309
18.2 曲线图下的面积 …………………309
18.3 面积的计算 …………………………309
18.4 正面积和负面积 …………………315
18.5 两个函数之间的面积 ……………316
18.6 函数与y轴之间的面积 …………317
18.7 参数函数的面积 …………………318
18.8 黎曼和 ………………………………319
18.9 旋转曲面……………………………320
18.9.1 圆柱体的表面积…………321
18.9.2 直锥的表面积……………322
18.9.3 球体的表面积……………323
18.9.4 抛物面的表面积…………324
18.10 参数函数的表面积 ………………325
18.11 二重积分…………………………326
18.12 雅可比行列式 ……………………327
18.12.1 一维雅可比行列式………328
18.12.2 二维雅可比行列式………329
18.12.3 三维雅可比行列式………333
18.13 用二重积分计算面积 ……………334
18.14 总结 ………………………………337
第19章 体积 ……………………………339
19.1 引言 …………………………………339
19.2 旋转体：切片法 …………………339
19.2.1 圆柱体的体积……………340
19.2.2 直锥的体积………………340
19.2.3 直锥台的体积……………342
19.2.4 球体的体积………………343
19.2.5 椭球体的体积……………343
19.2.6 抛物面的体积……………345
19.3 旋转体：壳层法 …………………345
19.3.1 圆柱体的体积……………346
19.3.2 直锥的体积………………346
19.3.3 球体的体积………………347
19.3.4 抛物面的体积……………348
19.4 用二重积分计算体积 ……………349
19.4.1 矩形盒子…………………350
19.4.2 矩形棱柱…………………350
19.4.3 顶部由曲面构成…………351
19.4.4 具有圆形底面的对象……351
19.4.5 圆柱体……………………352
19.4.6 截柱………………………352
19.5 用三重积分计算体积 ……………353
19.5.1 矩形盒子…………………354
19.5.2 圆柱体的体积……………354
19.5.3 球体的体积………………356
19.5.4 圆锥的体积………………356
19.6 总结…………………………………357
附 录 ………………………………………359
附录A sin θ/θ的极限 …………………359
附录B 求cosn θ的积分 ………………361
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前 言
计算机科学是一门庞大的学科，其毕业生从事的职业多种多样，包括编程、系统设计、密码学、网站设计、实时系统、计算机动画、计算机游戏、数据可视化等。因此，几乎不可能编写出一本能够适合所有这些潜在职业路线的数学教材。尽管如此，我还是尝试去描述一系列我认为有价值的数学主题。在我的计算机科学职业生涯中，这些数学主题给予了我很大的帮助。
本书是一本入门教材，面向攻读计算机科学学士学位的学生。本书共包含19章，内容涵盖数论、计数、代数、逻辑、组合数学、概率、模算术、三角学、坐标系、行列式、向量、复数、矩阵、几何矩阵变换、微分、积分、面积和体积等，这些内容能为读者提供坚实的数学基础，以便他们进一步学习更高级的数学主题。在本书中，我还对书中涵盖的种种数学发现背后的关键人物一一做了介绍，旨在为所讨论的主题增加一些人文色彩。
如果没有互联网的协助和我之前在施普林格出版社（Springer Verlag）出版的书，我不可能写出本书。我要特别感谢维基百科和Richard Elwes的优秀著作Maths 1001。我是在苹果iMac计算机上利用LaTeX2e、Pages和Graper软件包编写本书的，我推荐所有考虑编写数学书籍的人使用这些软件包。我真心希望你会喜欢阅读本书，并且希望你愿意更加深入地学习数学。
John Vince
2022年10月于英国赫里福德郡 布雷顿
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