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目錄： Contents Preface Notations Chapter 1 A glance in rings and modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Rings and modules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 1.2 Complexes, homological dimensions and functors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 1.3 Finitely generated and finitely presented modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.4 FP-injective and flat modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Exercise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Chapter 2 Coherent rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.1 Definition and examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.2 Characterizations of coherent rings. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54 2.3 Extensions of coherent rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.4 Some generalizations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78 Exercise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Chapter 3 FP-injective rings. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .96 3.1 Definition and examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 3.2 Characterizations of FP-injective rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.3 Extensions of FP-injective rings. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106 3.4 FP-injective and QF rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 3.5 FC rings. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121 Exercise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Chapter 4 Homological dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 4.1 FP-injective dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 4.2 n-FC rings. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .149 4.3 Weak global dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 4.4 Semihereditary rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .164 Exercise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Chapter 5 Some applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 5.1 Flat envelopes and FP-injective covers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 5.2 Gorenstein flat modules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .187 5.3 Gorenstein FP-injective modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 5.4 Gorenstein flat complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .214 5.5 Gorenstein FP-injective complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 5.6 Relative and Tate homology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 Exercise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 Appendix A Open questions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .258 Appendix B Categories and fuctors. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .263 Appendix C Categories of complexes of modules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .275 References. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .284 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

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