图 1. 1- 1
三、数轴上线段的中点及分点的坐标
假设 A ，B 两点在数轴上的坐标分别为 x1 ， x2 ，则线段 AB 的中点 M 的坐标为如图
1-2.
图 1. 1-2
设点M 的坐标为 x ，因为 M 是线段 AB 的中点 ，所以 |AM | = | MB | ，所以有 x-x1 = x2 -x. 当我 们把 x1 ， x2 看成已知数 ，而把 x 看成未知数时 ，就可以得出一个以 x 为未知数 ，x1 ， x2 为已知数
的方程继而求出 x 的值.
在此基础上可以进一步展开讨论 : 已知点A 在数轴上的坐标为 xA ，且线段 AB 的中点 M 的 坐标为 xM 时 ，如何求线段 AB 的另一个端点 B 的坐标呢?
事实上 ，假设这时线段 AB 的另一个端点 B 的坐标为 x ，依据上述方法可得出方程 xM =
，移项求出 x = 2xM -xA .
其实 ，这里的点B 也可以看成数轴上点A 关于点M 的中心对称点 ，这个对称点的坐标就可 以利用上述公式而得到. 也就是说 ，当我们已知点A 求关于另一个已知点M 为对称中心的点 B 的坐标时 ，可以轻松借助上述公式 x = 2xM -xA 得到对称点 B 的坐标.
接下来进一步讨论 ，在数轴上 ，已知点 A ，B 的坐标分别为 x1 ， x2 时 ，如何求这条线段的分 点 P 的坐标呢? 这里出现了一个问题 :线段 AB 的分点指的是什么呢? 其实 ，前面我们所讨论 的线段 AB 的中点M 就是线段 AB 的一个分点 ，这时线段 AB 的中点M 将线段 AB 分割成两条线
段 ，线段 AM 与 AB 的分比为 .
若线段 AB 所在直线上有一点P 将线段 AB 分成两条线段 ，且正好符合 此时的分点P 在线段 AB 上 ，称 P 为线段 AB 的一个内分点 ，分比为 ;若 AP : AB = 3 : 1 = 3 ，此 时的分点P 在线段 AB 的延长线上 ，称 P 为线段 AB 的一个外分点 ，分比为 3;若 AP : AB = - 1 :
，此时分点P 在线段 AB 的反向延长线上 ，P 也称为线段 AB 的一个外分点 ，分比为- . 在此基础上 ，进一步讨论如何借助已知线段 AB 的两个端点的坐标求与之相关的分点的坐
标. 设线段 AB 的两个端点的坐标分别为 xA 和 xB ，分点 P 的坐标为 xP . 若 AP : AB = t ，则由(xP -
xA ) : (xB -xA ) = t 可知 xP = (1-t)xA txB .
例 1 已知 :在数轴上 A ，B 两点的坐标分别是- 1 ，2 ，且点 P1 ，P2 ，P3 ，P4 分得线段 AB 的
分比分别为 ，求各分比所对应的分点 P1 ，P2 ，P3 ，P4 的坐标.
【 分析与思考】 如图 1. 1- 3 ，A ，B 两点的坐标分别是- 1 ，2 ，分点 P1 分得线段 AB 的分比 t = ，则分点 P1 的坐标分点 P2 分得线段 AB 的分比 t = 2 ，则分点
P2 的坐标 xP2 = (1-2) × (- 1) 2× 2 = 5;分点 P3 分得线段 AB 的分比 则分点 P3 的坐标
分点 P4 分得线段 AB 的分比 t = - 2 ，则分点 P4 的坐标
xP4 = [1-(-2) ] × (- 1) (-2)× 2 = -7.
图 1. 1- 3
【 方法与归纳】 设线段 AB 的两个端点的坐标分别为 xA ，xB ， 线段 AB 的长度用| AB | 来表 示，而 |AB | = | xA -xB | 或 | xB -xA | . 若线段 AB 的左端点为 A ，右端点为 B 时， | AB | = | xB -xA | = xB - xA ，两坐标之间就不必再加上绝对值的符号了.
通常初中阶段在讨论线段时一般不涉及线段的方向，但实际上，对于线段 AB 来说自然存 在从点 A 到点 B 或从点 B 到点 A 两个方向，所以， 当涉及方向的时候， 一般将线段 AB 和线段 BA 看成长度相等、方向相反的两条线段，并将其称为有向线段，如有向线段 AB = xB -xA ，有向线 段 BA = xA -xB . 这类知识在高中阶段将会详细学习.
当线段 AB 的两个端点的坐标分别为 xA ，xB ，分点 P 的坐标为 xP ，AP : AB = t 中的 t 有正负 时，则表明其中的线段AP 和AB 都是有向线段. 当有向线段AP 的方向与有向线段AB 的方向一 致时，分比 t 为正. 当 01 时，分点 P 在线段 AB 的延长线上. 当有向线段 AP 的方向与有向线段 AB 的方向不一致时，分比 t 为负，分点 P 在线段 AB 的反向 延长线上.
四、平面直角坐标系中线段的分点的坐标
在平面直角坐标系 xOy 中 ，若线段 AB 的两个端点的坐标分别为 A(xA，yA ) ，B(xB，yB ) ，分点 P 的坐标为(xP，yP ) ， 当 AP : AB = t 中的 t 与上述约定相同时 ，依然可以根据(xP -xA ) : ( xB - xA ) = t 求得 xP = (1-t)xA txB ;根据(yP -yA ) : (yB -yA ) = t 求得 yP = ( 1-t) yA tyB ，所以点 P 的坐 标为(xP，yP ) = ( (1-t)xA txB ， (1-t)yA tyB ) .
一、直线的倾斜角及斜率
在平面直角坐标系 xOy 中 ，通常把一条直线向上的方向与 x 轴的正方向所形成的角 ，称为 这条直线的倾斜角. 如图 1. 2- 1 ，直线 a ，b ，c 分别与 x 轴交于 A ，B ，C 三点 ，这三条直线与 x 轴所 形成的倾斜角分别为锐角、钝角和直角.
图 1. 2- 1
直线 d 与 x 轴平行 ，这时特别规定其倾斜角为 0 °. 可见 ，平面直角坐标系中直线的倾斜角 α 的取值范围是 0 ° ≤α<180 °.
称一条直线的倾斜角 α 的正切值 tan α 为这条直线的斜率 k ，即 k = tan α. 因为 90°角不存在 正切值 ，所以 ，当一条直线的倾斜角为 90°时 ，这条直线的斜率不存在.
斜率还可以利用直线上任意两点的坐标来计算. 如图 1. 2- 2 ，直线 AB 与 x 轴交于点 D ， ∠ADO = α. 因为 BC∥x 轴 ，所以∠ABC = ∠ADO = α ，所以直线 AB 的斜率 k = tan α = tan∠ABC =
图 1. 2-2
在平面直角坐标系 xOy 中 ，一条直线与 x 轴交点的横坐标叫作这条直线在 x 轴上的截距. 因为直线与 x 轴可交于任意位置 ，所以直线在 x 轴上的截距可能是正数 ，也可能是负数 ，还可能 是 0. 一条直线与 y 轴交点的纵坐标叫作这条直线在 y 轴上的截距. 直线在 y 轴上的截距同样可
能是正数 ，也可能是负数 ，还可能为 0.
二、直线方程的五种表示形式
通常把斜率为 k ，在 y 轴上截距为 b 的直线方程 y = kx b(k≠0)叫作直线的斜截式方程. 如图 1. 2-2 ，过 A(x1，y1 ) ，B(x2，y2 )两点的直线是否可以直接借助 A ，B 两点的坐标来表示呢?
一方面 ，因为斜率 ，所以直线的方程可表示成 x b;另一方面 ， 因为点 A(x1，y1 ) 在直线上 ，所以有 ，所以 b 可以用点 A(x1，y1 ) ，B(x2，y2 ) 的坐标表示为 所以由 可得 进而有 这 就是借助点A(x1，y1 ) ，B(x2，y2 ) 的坐标写出了一个直线的方程 ，通常把这个方程称为直线的两 点式方程.
若将此方程 y-y1 = (x-x1 ) 中的用斜率 k 替换 ，则可以得到过点A(x1，y1 ) 且斜率 为 k 的直线的点斜式方程 y-y1 = k(x-x1 ) . 若一条直线在 x 轴上与 y 轴上的非零截距分别为 a ， b ，这时这条直线的斜率 k 可以表示为 ，所以 ，借助直线的点斜式方程可得 y-b =
- x ，去分母 ，移项可得 bx ay= ab ，进而有 ，这就是直线的截距式方程.
至此 ，我们获得了以下几种直线方程的表示形式 :
直线的斜截式方程:y = kx b ，k≠0;
直线的两点式方程
直线的点斜式方程:y-y1 = k(x-x1 ) ;
直线的截距式方程
习惯上 ，我们称上述直线方程都是直线方程的中间表达形式 ，往往需要将上述方程最终调 整成形为 Ax By C = 0 的直线的一般式方程 ，且要求其中的 A 为有理数 ，一般要求将其调整为 正整数.
例 在平面直角坐标系 xOy 中 ，写出满足下列条件的直线的方程.
(1) 过点A(- 1 ，1) ，B(2 ，-3) 的直线方程 ;
(2) 过点A(- 1 ，0) ，B(0 ，-3) 的直线方程 ;
(3) 过点A(- 1 ，1) ，且倾斜角为 60°的直线方程 ;
(4)倾斜角为 30 ° ，且在 y 轴上的截距为 2 的直线方程.
【 分析与思考】 (1) 因为直线过点A( - 1 ， 1) ，B( 2 ，- 3) ，所以利用直线的两点式方程 ，得 即 y- 1 = - (x 1) ，再将其调整为直线的一般式方程 4x 3y 1 = 0.
( 2) 过点A(- 1 ，0) ，B(0 ，-3) 的直线在 x 轴上的截距为- 1 ，在 y 轴上的截距为-3 ，所以可以 利用直线的截距式方程 ，得 ，再将其调整为直线的一般式方程 3x y 3 = 0.
(3) 因为直线的倾斜角为 60 ° ， 所以该直线的斜率 k = tan 又因为该直线过点 A(- 1 ，1) ，所以利用直线的点斜式方程 ，得 将其调整为直线的一般式方程 即
(4) 因为直线的倾斜角为 30 ° ，所以该直线的斜率 又因为该直线在 y 轴上 的截距为 2 ，故利用直线的斜截式方程可得其方程为 ，将其调整为直线的一般式方程 即
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