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| 內容簡介： |
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抽象代数，又称近世代数，是高等院校数学类各专业的基础课程，也是通信、信息、计算机等专业的选修课程。《抽象代数（第二版）》是普通高等教育“十一五”***规划教材改版升级，以操作性较强的方式组织编排了供一学期抽象代数课程使用的内容，包括集合、群、环、域等。每节后通过二维码链接该节的内容总结及习题解答，供读者学习使用。同时把因限于课时而不能在课堂内展开的，但却是基本的、有强烈背景的若干问题编排为知识拓展的选读选讲材料，使得《抽象代数（第二版）》除可操作性外还具有一定可塑性。
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目录前言符号说明第1章 集合 11.1 集合的定义与基本性质 11.2 关系 51.3 映射 13第2章 群 192.1 半群 群 192.2 n次对称群 262.3 子群 322.4 陪集 372.5 商群 412.6 群同态 452.7 循环子群，元素的阶 502.8 循环群 562.9 交错群 61第3章 环 683.1 环的定义与基本性质 683.2 同态 理想 743.3 整环 域 813.4 整环的分式域 863.5 直和 903.6 多项式环 983.7 整环的整除理论 104第4章 域 1104.1 扩域的次数 1104.2 扩域的生成元 1154.3 单扩张 1214.4 直尺圆规作图 1274.5 代数基本定理 133选读选讲材料 137X1 集合的基数 137X2 关于运算和广义结合律 140X3 群与对称 141X4 同态，同构 144X5 交错群An，n≥5，是单群 149X6 关于多项式环的两个问题 151X7 对称多项式 154X8 因子分解整环 159X9 整系数多项式环 163X10 完备化简介 168X11 四元数系 173X12 模的基本概念 177X13 模的和与直和 180X14 自由模 184X15 交换环上的矩阵 191X16 主理想整环上的矩阵 196X17 主理想整环上的模 200名词索引 206
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第1章集合 1.1集合的定义与基本性质 集合，简称“集”，是数学中不予定义的原始对象.数学的定义总是用一些已知的概念、已知的条件给出一个新的概念.因此总有一些概念是*原始的，不予定义的.“集合”就是这样一个原始概念. 对于原始概念“集合”虽然不予定义，但是可以描述.一个集合A是一些数学对象的群体使得我们可以明确识别一个对象是在A里面还是不在A里面. 对象a在A里面就记作，读作“a属于A”，称a是4的元素，或称a是A的成员.否则a不在A里面，记作，读作“a不属于A”. 通常有两种方式表达一个集合. 列举式记法 在花括号中列举出集合的所有元素.例如：所有非负整数的集合用符号Z+表示，可列举式记为. 描述性记法 在花括号中描述集合的元素.例如：是实数是所有实数的集合，即实数轴上全体点的集合.又如：实数轴上0到1的闭区间实数的集合可记作是实数且. 我们还采用以下记号：是整数，是有理数，是复数}. 没有元素的集合称为空集，记作0. 我们常说的“组”与“集”有不同之处：“组”里的东西是可以重复的，但“集”里的东西是不重复的，因为它们是被明确识别的.例如：我们说数组2，2，1，3，3，5，就是6个数构成的组;但如果说2，2，1，3，3，5构成的集合，则是{2，1，3，5}. 设A，B是两个集合.如果对任有，就说是的子集，记作或;也说成：A包含于B，或说B包含A空集是任何集合的子集. 如果且，那么它们就是同一个集合，记作如果 但就说是的真子集，记作义. 设是两个集合.定义： 并集和交集可以对任意多个集合定义：设表，是用指标集标号的一组集合，那么 按定义马上有 而且易证明下列结论. 命题1.1.1设A，B，C是集合.则以下成立： 证仅证明*后一式，其他各式的证明作为练习. 设 再设 综上两段，就得 设是一个集合.以的所有子集为成员的集合称为的幂集，记作 对，称为在中的补集，则.那么对任，这些集合尽都还是吋的的元素通常把称为集合上的运算.命题1.1.1也描述了集合上的运算所满足的运算律. 特别地，在命题1.1.1的德摩根律中，取为这里的，则，所以命题1.1.1的德摩根律的**式成为类似地，命题1.1.1的德摩根律的第二式成为.所以在给定集合的幂集中的德摩根律表述为这个形式： 称为与的卡氏积，也称为集合积，简称积.这里表示有顺序的元素序列.典型例子：取，实数集与自己的卡氏积，简记为，解析几何中它与欧氏平面的点一一对应.从该例子可见为什么我们说是有顺序的元素序列：当时. 对三个或多个集合同样可以定义卡氏积.例如 这里表示有顺序的元素序列.典型例子：取，实数集的三重卡氏积，立体解析几何中它与欧氏空间的点一一对应. 集合中元素的个数称为集合的基数，记作.如果是无限的，记作，称是无限集.如果是有限的，则记作，称是有限集.例如：都是有限集. 例如：都是无限集. 虽然与都是无限集，但它们的基数大小却有本质区别. z的元素可以列举出来，就是可以像数数那样把它的元素一个一个数下去:从0数起；数了以后数n+1;按“数学归纳法”的意思就把它的元素数完了. 但[0，1]的元素却数不完，具体情形请参看选读选讲材料. 因此Z+称为可数无限集，而[0，1]称为不可数无限集.这是数学家康托尔(Cantor)发现的事实，由此出发康托尔创立了现代集合论，参见选读选讲材料. 集合A与B的卡氏积中，对每在中跑动时，得到的元素序列共有个；再让在中跑动，共得到元素序列有个，所以即使，中有空集，这个公式也是正确的，参看习题1.1第4题. 上述公式可推广到多个集合的卡氏积，如. 设次，是用指标集标号的一组集合；如果对任两个互异的标号都有，我们就称并集是不交并集.此时，只要我们把每个4的元素个数都计数一遍以后，就正好是把4的所有元素都无重复地计数了.所以对不交并集有简单的基数计算公式. 但对一般的并集的基数计算就要复杂得多，习题1.1第6题是其中*简单的情况. 内容小结关键词：集合，集合运算和运算律，基数. 习题1.1
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