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| 內容簡介： |
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《物理学中的群论》第三版分两篇出版， 《物理学中的群论——李代数篇》是李代数篇， 但仍包含有限群的基本知识. 《物理学中的群论——李代数篇》从物理问题中提炼出群的概念和群的线性表示理论， 通过有限群群代数的不可约基介绍杨算符和置换群的表示理论， 引入标量场、矢量场、张量场和旋量场的概念及其函数变换算符， 以转动群为基础解释李群和李代数的基本知识和半单李代数的分类， 在介绍单纯李代数不可约表示理论的基础上， 推广盖尔范德方法， 讲解单纯李代数*高权表示生成元、表示矩阵元的计算和状态基波函数的计算. 《物理学中的群论——李代数篇》附有习题， 与《物理学中的群论——李代数篇》配套的《群论习题精解》涵盖了习题解答.
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第1章群的基本概念11.1对称11.2群及其乘法表21.2.1群的定义21.2.2子群61.2.3正N边形对称群61.2.4置换群81.3群的各种子集121.3.1陪集和不变子群121.3.2共轭元素和类151.3.3群的同态关系181.3.4群的直接乘积201.4正四面体和立方体对称变换群22习题124第2章群的线性表示理论262.1群的线性表示262.1.1线性表示的定义262.1.2群代数和有限群的正则表示272.1.3类算符302.2标量函数的变换算符312.3等价表示和表示的幺正性362.3.1等价表示362.3.2表示的幺正性372.4有限群的不等价不可约表示382.4.1不可约表示382.4.2舒尔定理392.4.3正交关系402.4.4表示的完备性432.4.5有限群不可约表示的特征标表452.4.6自共轭表示和实表示472.5分导表示、诱导表示及其应用472.5.1分导表示和诱导表示472.5.2D2n+1群的不可约表示482.5.3D2n群的不可约表示492.6物理应用502.6.1定态波函数按对称群表示分类502.6.2克莱布什{戈登级数和系数532.6.3维格纳{埃伽定理542.6.4正则简并和偶然简并552.7有限群群代数的不可约基572.7.1D3群的不可约基572.7.2O群和T群的不可约基58习题260第3章置换群的不等价不可约表示623.1原始幂等元和杨算符623.1.1理想和幂等元623.1.2原始幂等元的性质643.1.3杨图、杨表和杨算符663.1.4杨算符的基本对称性质703.1.5置换群群代数的原始幂等元723.2杨图方法和置换群不可约表示793.2.1置换群不可约表示的表示矩阵793.2.2计算特征标的等效方法823.2.3不可约表示的实正交形式833.3置换群不可约表示的内积和外积853.3.1置换群不可约表示的直乘分解853.3.2置换群不可约表示的外积863.3.3Sn+m群的分导表示89习题389第4章三维转动群和李代数基本知识914.1三维空间转动变换群914.2李群的基本概念954.2.1李群的组合函数954.2.2李群的局域性质964.2.3生成元和微量算符974.2.4李群的整体性质984.3三维转动群的覆盖群1014.3.1二维幺模幺正矩阵群1014.3.2覆盖群1024.3.3群上的积分1054.3.4SU(2)群群上的积分1074.4SU(2)群的不等价不可约表示1094.4.1欧拉角1094.4.2SU(2)群的线性表示1124.4.3O(3)群的不等价不可约表示1164.4.4球函数和球谐多项式1164.5李氏定理1204.5.1李氏**定理1214.5.2李氏第二定理1234.5.3李氏第三定理1244.5.4李群的伴随表示1254.5.5李代数1264.6半单李代数的正则形式1274.6.1基林型和嘉当判据1274.6.2半单李代数的分类1294.7张量场和旋量场1354.7.1矢量场和张量场1354.7.2旋量场1394.7.3总角动量算符及其本征函数140习题4142第5章单纯李代数的不可约表示1445.1李代数不可约表示的性质1445.1.1表示和权1445.1.2权链和外尔反射1455.1.3*高权表示1465.1.4基本主权1485.1.5卡西米尔不变量和伴随表示1495.1.6谢瓦莱基1505.2盖尔范德方法及其推广1515.2.1方块权图方法1515.2.2盖尔范德基1535.2.3A2李代数的*高权表示1565.2.4推广的盖尔范德方法1625.2.5C3李代数的*高权表示1645.2.6B3李代数的*高权表示1745.2.7平面权图1765.3直乘表示的约化1785.3.1克莱布什{戈登系数1785.3.2克莱布什{戈登级数1805.3.3主权图方法1815.4SU(N)群张量表示的约化1875.4.1SU(N)群张量空间的对称性1875.4.2张量子空间J[.]1的张量基1905.4.3SU(N)群生成元的谢瓦莱基1955.4.4SU(N)群的不可约表示1965.4.5SU(N)群不可约表示的维数1995.4.6n个电子系统的反对称波函数2005.4.7张量的外积2035.4.8协变张量和逆变张量2055.5SO(N)群的不可约表示2095.5.1SO(N)群的张量2095.5.2SO(2`+1)群生成元的谢瓦莱基2125.5.3SO(2`)群生成元的谢瓦莱基2155.5.4SO(N)群不可约张量表示的维数2175.5.5.矩阵群2195.5.6SO(N)群基本旋量表示及其不可约性2245.5.7SO(N)群的基本旋量2275.5.8SO(N)群无迹旋张量表示的维数2295.6SO(4)群和洛伦兹群2315.6.1SO(4)群不可约表示及其生成元2325.6.2洛伦兹群的性质2355.6.3固有洛伦兹群的群参数和不可约表示2365.6.4固有洛伦兹群的覆盖群2395.6.5固有洛伦兹群的类2405.6.6狄拉克旋量表示2415.7辛群的不可约表示2435.7.1酉辛群生成元的谢瓦莱基2435.7.2辛群不可约表示的维数248习题5250参考文献253索引261
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第1章群的基本概念群论是研究系统对称性质的有力工具.本章*先从系统对称性质的研究中，概括出群的基本概念.通过物理中常见的对称变换群的例子，使读者对群有较具体的认识.然后，引入群的各种子集的概念?群的同构与同态的概念和群的直接乘积的概念.1.1对称对称是一个人们十分熟悉的用语.世界处在既对称又不严格对称的矛盾统一之中.房屋布局的对称给人一种舒服的感觉，但过分的严格对称又会给人死板的感觉.科学理论的和谐美，其中很大程度上表现为对称的美.在现代科学研究中，对称性的研究起着越来越重要的作用.我们常说，斜三角形很不对称，等腰三角形比较对称，正三角形对称多了，圆比它们都更对称.但是，对称性的高低究竟是如何描写的呢?对称的概念是和变换密切联系在一起的，所谓系统的对称性就是指它对某种变换保持不变的性质.保持系统不变的变换越多，系统的对称性就越高.只有恒等变换，也就是不变的变换，才保持斜三角形不变.等腰三角形对底边的垂直平分面反射保持不变，而正三角形对三边的垂直平分面反射都保持不变，还对通过中心垂直三角形所在平面的轴转动角的变换保持不变.圆对任一直径的垂直平分面的反射都保持不变，也对通过圆心垂直圆所在平面的轴转动任何角度的变换保持不变.因为保持圆不变的变换*多，所以它的对称性*高.量子系统的物理特征由系统的哈密顿量(Hamiltonian)决定，量子系统的对称性则由保持系统哈密顿量不变的变换集合来描写.例如，N个粒子构成的孤立系统的哈密顿量为其中，rj和mj是第j个粒子的坐标矢量和质量，r2j是关于rj的拉普拉斯(Laplace)算符，U是两个粒子间的二体相互作用势，它只是粒子间距离的函数.拉普拉斯算符是对坐标分量的二阶微商之和，它对系统平移?转动和反演都保持不变.作用势只依赖于粒子间的相对坐标绝对值，也对这些变换保持不变.若粒子是全同，哈密顿量还对粒子间的任意置换保持不变.这个量子系统的对称性质就用系统对这些变换的不变性来描述.保持系统不变的变换称为系统的对称变换，对称变换的集合描写系统的全部对称性质.根据系统的对称性质，通过群论方法研究，可以直接得到系统许多精确的?与细节无关的重要性质.1.2群及其乘法表1.2.1群的定义系统的对称性质由对称变换的集合来描写.我们先来研究系统对称变换集合的共同性质.按照物理中的惯例，两个变换的乘积RS定义为先做S变换，再做R变换.显然，相继做两次对称变换仍是系统的对称变换，三个对称变换的乘积满足结合律.不变的变换称为恒等变换E，它也是一个对称变换，并与任何一个对称变换R的乘积仍是该变换R.对称变换的逆变换也是系统的一个对称变换.上述性质是系统对称变换集合的共同性质，与系统的具体性质无关.把对称变换集合的这些共同性质归纳出来，得到群(group)的定义.定义1.1在规定了元素的“乘积”法则后，元素的集合G如果满足下面四个条件，则称为群.(1)集合对乘积的封闭性.集合中任意两元素的乘积仍属此集合:(2)乘积满足结合律:(3)集合中存在恒元E，用它左乘集合中的任意元素，保持该元素不变(4)任何元素R的逆R.1存在于集合中，满足作为数学中群的定义，群的元素可以是任何客体，元素的乘积法则也可任意规定.一旦确定了元素的集合和元素的乘积规则，满足上述四个条件的集合就称为群.系统对称变换的集合，对于变换的乘积规则，满足群的四个条件，因而构成群，称为系统的对称变换群.在物理中常见的群大多是线性变换群?线性算符群或矩阵群.如果没有特别说明，当元素是线性变换或线性算符时，元素的乘积规则都定义为相继做两次变换;当元素是矩阵时，元素的乘积则取通常的矩阵乘积.在群的定义中，群元素是什么客体并不重要，重要的是它们的乘积规则，也就是它们以什么方式构成群.如果两个群，它们的元素之间可用某种适当给定的方式一一对应起来，而且元素的乘积仍以此同一方式一一对应，常称对应关系对元素乘积保持不变，那么，从群论观点看，这两个群完全相同.具有这种对应关系的两个群称为同构(isomorphism).定义1.2若群G0和G的所有元素间都按某种规则存在一一对应关系，它们的乘积也按同一规则一一对应，则称两群同构.用符号表示，若R和，必有，则G0.G，其中符号代表一一对应，“.”代表同构.互相同构的群，它们群的性质完全相同.研究清楚一个群的性质，也就了解了所有与它同构的群的性质.在群同构的定义里，元素之间的对应规则没有什么限制.但如果选择的规则不适当，使元素的乘积不再按此规则一一对应，并不等于说，这两个群就不同构.只要对某一种对应规则，两个群符合群同构的定义，它们就是同构的.从群的定义出发，可以证明，恒元和逆元也满足RE=R; (1.6)第二个式子表明元素与其逆元是相互的.由此易证群中恒元是唯一的，即若E0R=R，则E0=E.群中任一元素的逆元是唯一的，即若SR=E，则S=R.1.于是，恒元的逆元是恒元，和(RS).1=S.1R.1.作为逻辑练习，习题第1题让读者证明这些结论.证明中除群的定义外，不能用以前熟悉的任何运算规则，因为它们不一定适合群元素的运算.下面我们认为这些结论已经证明，可以应用了.一般说来，群元素乘积不能对易，RS6=SR.元素乘积都可以对易的群称为阿贝尔(Abel)群.若群中至少有一对元素的乘积不能对易，就称为非阿贝尔群.元素数目有限的群称为有限群，元素的数目g称为有限群的阶(order).元素数目无限的群称为无限群，如果无限群的元素可用一组连续变化的参数描写，则称为连续群.把群的子集，即群中部分元素的集合看成一个整体，称为复元素.作为集合，复元素不关心所包含元素的排列次序，且重复的元素只取一次.两复元素相等的充要条件是它们包含的元素相同，即R=S的充要条件是R.S和S.R.普通元素和复元素相乘仍是复元素.TR是由元素TRj的集合构成的复元素，而RT则由元素RjT的集合构成.设S=Sng，两复元素的乘积RS是所有形如RjSk的元素集合构成的复元素.上面出现的元素乘，如TRj，RjT和RjSk，均按群元素的乘积规则相乘.复元素的乘积满足结合律.如果复元素的集合，按照复元素的乘积规则，符合群的四个条件，也构成群.定理1.1(重排定理)设T是群中的任一确定元素，则下面三个集合与原群G相同:证明以TG=G为例证明.对群G任何元素R，有TR2G，因而TG.G.反之，因为R=T(T.1R)，而，所以.证完.对于有限群，群元素数目有限，因此有可能把元素的乘积全部排列出来，构成一个表，称为群的乘法表(multiplication table)，简称群表.为了确定起见，对于RS=T，今后称R为左乘元素，S为右乘元素，而T为乘积元素.乘法表由下法建立:在表的*左面一列，把全部群元素列出来，作为左乘元素，在表的*上面一行，也把全部群元素列出来，作为右乘元素，元素的排列次序可以任意选定，但常让左乘元素和右乘元素的排列次序相同，恒元排在**位.表的内容有格，每一格填入它所在行*左面一列的元素R(左乘元素)和它所在列*上面一行的元素S(右乘元素)的乘积RS.因为恒元与任何元素相乘还是该元素，如果把恒元排在表中第一个位置，则乘法表内容中**行和右乘元素相同，**列和左乘元素相同.由重排定理，乘法表乘积元素中每一行(或列)都不会有重复元素.乘法表完全描写了有限群的性质.我们先来看二阶群和三阶群的乘法表.当把**列和**行按左乘元素和右乘元素填完后，重排定理已完全确定了表中各位置的填充，如表1.1和表1.2所示.因此准确到同构，二阶群只有一种，三阶群也只有一种.表1.1二阶群的乘法表在二阶群中，可让e代表恒等变换，代表空间反演变换，则这是对空间反演不变的系统的对称变换群，常记为V2.也可让e代表数1，.代表数按普通的数乘积，它们也构成二阶群，记为C2.这两个群是同构的.对三阶群有. 表1.2三阶群的乘法表按右手螺旋法则，绕沿空间方向的轴转动角的变换记为，其中μ和是^n方向的极角和方位角，尖角^表单位矢量.设R=R(^n;2 =N)，R及其幂次的集合定义元素乘积为相继做变换，则此集合满足群的定义，构成群.一般说来，由一个元素R及其幂次构成的有限群称为由R生成的循环群，R称为循环群的生成元.CN是N阶循环群，生成元R常记为CN，称为N次固有转动，或简称N次转动.此转动轴常称为N次固有转动轴，简称N次轴.N次转动和空间反演.的乘积记为SN，SN=.CN=CN.，称为N次非固有转动.由SN及其幂次构成的循环群记为CN，此转动轴称为N次非固有转动轴.CN群的阶是N，CN群的阶，根据N是偶数或奇数，分别是N或2N.循环群中元素乘积可以对易，因而循环群是阿贝尔群.循环群生成元的选择不是唯一的，如循环群CN中，CN和CN.1N都可作生成元.循环群的乘法表有共同的特点，当表中元素按生成元的幂次排列时，表的每一行都可由前一行向左移动一格得到，而*左面的元素移到*右面去.现在来研究四阶群的乘法表.四阶循环群C4的乘法表如表1.3所示，其中R的自乘和T的自乘都不等于恒元，它们的四次幂才是恒元.如果四阶群中所有元素的自乘都是恒元，由于重排定理，这样的四阶群乘法表只能如表1.4所示.设和分别是空间反演?时间反演和时空全反演，则此群称为四阶反演群V4.也由于重排定理，四阶群中除恒元外的任一元素的三次幂不能等于恒元.因此，准确到同构，四阶群只有两种:如果群中所有元素自乘都是恒元，它就与V4群同构;否则，它就与C4群同构.表1.3四阶循环群C4的乘法表1.4四阶反演群V4的乘法表1.2.2子群群G的子集H，如果按照原来的元素乘积规则，也满足群的四个条件，则称为群G的子群(subgroup).注意，乘积规则是群的*重要的性质，如果给子集元素重新定义新的乘积规则，那它就与原群脱离了关系，即使此子集构成群，也不能称为原群的子群.任何群都有两个平庸的子群:恒元和整个群.但通常更关心非平庸子群.既然有限群的元素数目是有限的，那么有限群任一元素的自乘，当幂次足够高时必然会有重复.由群中恒元唯一性知，有限群任一元素的自乘若干次后必可得到恒元.若Rn=E，n是R自乘得到恒元的*低幂次，则n称为元素R的阶，R生成的循环群称为元素R的周期.元素的周期构成子群，称为循环子群(cyclicsubgroup).阶数为n的循环子群，通常就记为Cn，必要时用撇来加以区分.恒元的阶为1，其他元素的阶都大于1.不同元素的周期也可有重复或重合.请注意不要混淆群的阶和元素的阶这两个不同的概念，只有循环群生成元的阶才等于该群的阶.如何来判定一个子集是否构成子群?既然子集元素满足原群的元素乘积规则，结合律是显然满足的.如果子集对元素乘积封闭，则它必定包含子集中任一元素的周期，对有限群来说，元素R的周期包含了恒元和逆元R.1，因此对有限群，检验子集是否满足封闭性就可以判定子集是否构成子群.当然对无限群，判定子群还必须检验恒元和逆元是否在子集中.不含恒元的子集肯定不是子群，这是否定子集为子群的一个*简单判据.有限群中任一元素R的周期构成群中一个子群.若此子群尚未充满整个群，则在子群外再任取群中一元素S，由R和S所有可能的乘积构成一个更大的子群.若它还没有充满整个群，则再取第三个?第四个元素加入上述乘积，*后总能充满整个有限群，即群中所有元素都可表为若干个元素的乘积.适当选择这些元素，使有限群中所有元素都可表为尽可能少的若干个元素的乘积，这些元素称为有限群的生成元，生成元不能表成其他生成元的乘积.有限群生成元的数目称为有限群的秩.1.2.3正N边形对称群把正N边形放在xy平面上，中心和原点重合，一个顶点在正x轴上.保持正
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