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| 內容簡介： |
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《混料格点设计的理论与应用》主要介绍了混料格点设计的理论与其在构造*优设计与均匀设计方面的应用。《混料格点设计的理论与应用》共分九章，内容包括混料格点设计的基本理论、格点支撑下混料*优设计的相关理论、具有附加约束的混料试验域内搜索*优设计的算法、对局部*优设计的检测与评价方法、格点剖分下均匀设计的构造以及混料格点设计的推广和若干应用。
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| 目錄：
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目录 前言 第1章 混料试验的基本概念 1 1.1 混料试验设计发展概述 1 1.1.1 试验设计 1 1.1.2 混料试验设计.3 1.1.3 混料格点理论 5 1.1.4 本书中主要记号 7 1.2 混料试验分析 7 1.2.1 一般混料问题 7 1.2.2 单纯形坐标系 10 1.2.3 混料试验域 13 1.3 响应*面法 16 1.3.1 响应函数 16 1.3.2 常用混料模型 18 1.4 矩阵代数的预备知识 24 1.4.1 矩阵及运算性质 24 1.4.2 广义逆 27 1.4.3 Frobenius公式 28 1.4.4 Kronecker积与向量化运算 30 第2章 单纯形上的常用设计 32 2.1 单纯形格点设计 32 2.1.1 混料格子点集 32 2.1.2 混料规范多项式 35 2.1.3 模型参数与响应的关系 42 2.2 单纯形中心设计 46 2.2.1 中心点集 46 2.2.2 中心多项式 47 2.2.3 中心设计的应用实例 51 2.3 Cox设计 542.3.1 Cox变换 54 2.3.2 轴设计 56 2.4 置换点集与置换矩阵 59 2.4.1 置换点集 59 2.4.2 置换矩阵 62 第3章 混料*优设计理论 69 3.1 线性模型 69 3.1.1 模型的一般形式 69 3.1.2 参数估计 71 3.1.3 二阶Scheffé模型的参数估计 73 3.1.4 统计检验 75 3.2 设计空间 78 3.2.1 连续型设计 78 3.2.2 信息矩阵 79 3.2.3 中心设计的信息矩阵 81 3.3 *优准则 82 3.3.1 *优准则及相关概念 82 3.3.2 D-*优准则 83 3.3.3 A-*优准则 87 3.3.4 I-*优准则.87 3.3.5 R-*优准则 88 3.3.6 其他*优准则 89 第4章 格点支撑下的混料*优设计 94 4.1 Scheffé模型的*优设计 94 4.1.1 一阶Scheffé模型的*优设计 94 4.1.2 二阶Scheffé模型的*优设计 97 4.1.3 中心多项式的*优设计 102 4.1.4 一些*优设计的数值结果.107 4.2 混料可加模型的*优设计 109 4.2.1 混料可加模型分析 109 4.2.2 二阶可加模型的D-*优设计 111 4.2.3 二阶可加模型的A-*优设计 115 4.2.4 二阶可加模型的I-*优设计 118 4.3 Becker模型的*优设计 121 4.3.1 Becker模型分析 1214.3.2 Becker模型的*优配置 125 4.4 多响应模型的*优设计 131 4.4.1 多响应模型分析 131 4.4.2 同类型函数的多响应模型.132 4.4.3 二响应模型的D-*优设计 138 4.4.4 一阶与二阶Scheffé二响应模型的A-与R-*优配置 142 4.5 加权效率*优设计 145 4.5.1 模型加权效率*优设计 145 4.5.2 准则加权效率*优设计 155 4.6 异方差模型下的*优设计 165 4.6.1 异方差模型分析 166 4.6.2 异方差模型的直积与直和形式 169 4.6.3 直和设计 170 4.6.4 直积设计 177 第5章 *优设计的搜索算法与评价 183 5.1 SCC 试验域 183 5.1.1 下界约束的混料问题 183 5.1.2 上界约束的混料问题 186 5.1.3 兼具上界与下界约束的混料问题 187 5.1.4 分枝XVERT算法 190 5.2 MCC型试验域 195 5.2.1 MCC 型试验域及其性质 195 5.2.2 棱切CONSIM算法 197 5.3 *优设计的搜索算法 200 5.3.1 NCC型试验域 200 5.3.2 随机混料点集 201 5.3.3 MDRS算法 205 5.3.4 方差函数*值搜索算法 211 5.4 *优设计的检测与评价 214 5.4.1 混料对称设计 214 5.4.2 *优设计的图检测法 217 5.4.3 稠密格点覆盖 220 5.4.4 *优设计的格点检测与评价 224 第6章 混料分量的*立变换 230 6.1 *立变量变换 2306.1.1 中心参照变换 230 6.1.2 顶点参照变换 232 6.1.3 单纯形的体积 234 6.2 中心复合设计 240 6.2.1 正交表 240 6.2.2 二次回归正交复合设计 242 6.2.3 旋转设计 247 6.2.4 二阶混料旋转设计 251 第7章 混料均匀设计 256 7.1 超立方体内的均匀设计 256 7.1.1 均匀设计表 256 7.1.2 好格子点法 257 7.1.3 均匀性测度 258 7.1.4 拉丁超立方体抽样 264 7.2 单纯形上的均匀设计 265 7.2.1 逆变换法 265 7.2.2 均方误偏差 270 7.2.3 DM偏差 273 7.2.4 NTLBG算法 274 7.3 拟分量变换设计 275 7.3.1 拟分量变换分析 276 7.3.2 PCTD的局部*优性 278 7.3.3 PCTD的整体均匀性 282 7.3.4 单纯形内最大球面设计 287 第8章 混料剖分设计及应用 290 8.1 单纯形域的剖分 290 8.1.1 子单纯形设计 290 8.1.2 混料凸多面体的剖分 292 8.2 混料格点填充设计 296 8.2.1 特殊点集对单纯形的剖分 296 8.2.2 格点剖分下的均匀性度量 301 8.2.3 正交格点填充 306 8.2.4 非参数建模 310 8.3 单纯形上分布的拟合优度检验 312 8.3.1 Dirichlet分布 3128.3.2 格点剖分下的检验统计量 316 8.3.3 均匀性检验 318 8.4 多项几何分布 323 8.4.1 混料格点与整数拆分 323 8.4.2 多项几何分布及其性质 326 8.4.3 均匀多项几何分布 332 第9章 含过程变量的混料设计 338 9.1 多重混料系统设计 338 9.1.1 含有过程变量的模型 338 9.1.2 多重格子点集 340 9.1.3 正交表对格点的筛选 344 9.2 混料分类模型的*优设计 346 9.2.1 混料分类模型分析 346 9.2.2 *优设计结果 347 9.2.3 矩阵的分块Kronecker积 356 参考文献 362 附录 试验设计相关R软件包简介 369
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第1章混料试验的基本概念 试验设计是数理统计学的一个重要分支，是进行科学研究的重要工具，它与生产实践和科学研究紧密结合，在各领域中得到了广泛应用.混料试验设计主要研究广义的配方试验的设计问题，是试验设计中的一个子类.本章主要介绍混料试验的基本概念，包括单纯形坐标系、混料试验域以及常用的混料模型等. 1.1混料试验设计发展概述 混料试验设计作为试验设计领域的一个重要研究分支，所处理的是一类最佳配方配比试验问题，混料试验设计的理论与方法在各个领域中应用非常广泛.本节主要介绍试验设计和混料试验设计的发展历程，并介绍关于混料格点设计的主要研究内容. 1.1.1试验设计 在工业、农业、医学、生产实践以及科学研究等领域，为了探索新的规律，发现新的事物或现象，肯定或否定已有的结论，都需要进行试验.试验的实质是一种用以测定某些特定指标而进行有目的的测试.如何合理安排试验，如何对试验结果进行科学分析，以及如何优化试验中各项参数等是生产者及科研工作者经常遇到的现实问题.试验设计的好坏直接影响试验的结果和试验效率，所以试验工作前有必要对试验进行良好设计.试验设计就是通过科学合理的安排试验，以较少的试验工作量和较低的成本获取足够的、可靠的有用信息.试验设计是以数学、统计学等为理论基础，结合专业知识和实践经验，科学合理地设计试验方案，以较少的试验工作量和较低的成本获取足够、可靠的有用信息.反之，如果试验设计存在缺点，势必事倍功半，造成不应有的浪费.一个好的试验设计应包含以下两个方面的内容. **是试验方案的设计.设计试验方案*先需要明确试验指标，也称为响应变量或输出变量；其次，确定影响试验指标的可能因子，因子取值的范围以及因子之间存在的交互作用或受到其他条件的约束限制；*后根据实际问题，选择适用的试验设计方法.试验设计的方法有很多，如正交设计、均匀设计、回归设计等.每种方法都有不同的适用条件，选择了适用的方法就可以事半功倍，选择的方法不正确或者根本没有进行有效的试验设计就会事倍功半. 第二是科学地统计分析试验结果.包括对数据的直观分析、对离散型因子的方差分析、对连续型因子的回归分析，当通常的检验方法不能对某些试验或调查资料进行有效分析时，常使用非参数检验的方法对试验数据进行统计分析. 纵观试验设计研究领域近百年的历史，其发展过程大致分为三个阶段. 早期、传统试验设计阶段是以Fisher等提出的方差分析法为代表.20世纪初，由Fisher（1935）提出试验设计的统计方法，许多统计学家根据不同的情况提出了各种试验设计方案.随后十年，许多统计学家发展并推广了这一方法.试验设计逐渐发展为统计学的一个重要分支.经过几十年的发展，试验设计这一研究领域正式成为数理统计学的一个重要分支，是进行科学研究的重要工具. 20世纪50～70年代，试验设计的研究热点主要是以正交试验设计、回归试验设计为代表.一方面，20世纪50年代初，田口玄一在研究电话通信设备质量时从英国、美国引进了试验设计技术，提出了“正交试验设计法正交试验设计能够合理地安排多因子多水平的试验，是一种高效率、快速、经济的试验设计方法.20世纪70年代中期，田口玄一在正交设计理论和方法的基础上提出了“产品三次设计”“信噪比”等概念.这些设计方法在日本迅速推广，得到了实质性的应用.另一方面，20世纪50年代末，Kiefer（1959）整理了前人的成果，将离散化的试验设计概念推广到连续设计.*优设计理论是从统计意义上建立比较试验设计好坏的标准，并以此标准来构造相应的*优设计.*优设计理论发展至今，其理论已经渗透到试验设计的各个领域.并且在发展的过程中，根据实际背景与问题，人们又提出了各种各样的*优设计标准，如*优、A-*优和*优等*优设计准则.Kiefer（1959，1974，1975）证明了著名的*优设计等价性定理，为*优设计理论的建立和发展奠定了基础.随后FedorOV（1972）出版了专著，详尽地讨论了*优设计理论，随后又将现行模型的*优设计理论推广至非线性模型的情形，在Fedorov和Leonov（2013）的专著中讨论了诸多非线性模型的*优设计问题. 到了20世纪70年代末，计算机仿真试验设计成为研究的一大热点.McKay等（1979）提出了拉丁超立方体抽样（Latin Hypercube Sampling，LHS）方法，这类设计具有稳健性与随机性，并且操作灵活，在当时得到了广泛的应用.一批学者对其理论和方法做了系统的研究和发展，形成了一个*立的分支.差不多在同一时间，王元和方开泰（1981）提出了均勾设计（Uniform Design，UD）.这两种方法都是将试验点均匀地散布于输入参数空间，文献中将其广泛称为空间填充设计，LHS给出的试验点带有随机性，故称为抽样，而UD是通过均匀设计表来安排试验，不带有随机性.均匀设计是以数论知识为基础，其思想与方法掲示了均匀设计与古典因子设计、近代*优设计、超饱和设计以及组合设计间的深刻内在联系，证明了均匀设计比上述传统试验设计具有更好的稳健性.均匀设计的理论涉及数论、函数论、试验设计、随机优化、计算复杂性等领域，开创了一个新的研究方向，并获得了国际认可.经过几十年的发展，均匀设计理论日渐完善，在国内外如航天、化工、制药、材料、汽车等领域得到广泛应用，并取得不少好的成果.方开泰（2004）总结了均匀设计近几十年发展所取得的一系列成果. 随着数理统计方法在试验设计问题的研究中逐步深入，现代化的工艺革新、产品质量标准的制定以及科学研究对试验设计方法的需求，吸引着众多学者以及实际工作者致力于具有实用性、有效性和优良统计特性的试验设计方法和理论的研究.当前，试验设计学科已包含多个重要的研究分支，如*优回归设计、区组设计、均匀设计、空间填充设计、正交设计、析因设计以及混料试验设计等. 1.1.2混料试验设计 20世纪50年代末，SchefFe（1958）*次提出了混料试验设计的概念，并定义了混料试验域、单纯形格点设计以及混料规范多项式等概念.为减少试验点数，Scheffe（1963）又在此基础上提出了单纯形中心设计、中心多项式等概念，自此建立了混料试验设计的理论基础.随后的几十年，一些统计学家对此类设计进行了深入的研究.例如，Cox（1971）考虑到设计点分布在试验域内部的情形，提出了Cox设计与轴设计;Cornell（1975）在多项式模型的情形下进一步研究了这类设计.随着试验设计理论的丰富，混料试验设计的理论也在不断发展，该领域的研究已取得了丰硕的成果，并广泛地应用于工业、农业和科学试验中.Comell（2002）总结归纳了混料试验设计领域的许多重要的理论与结果. 纵观混料试验设计领域几十年的发展，该方向的研究发展至今主要有两类设计：一类是在各种*优准则的基础上提出的混料*优设计；另一类是在均匀性和稳健性的前提下提出的混料均匀设计. 混料*优设计是以*优设计理论为基础，研究在不规则的混料试验域上的优化问题.根据凸设计理论，混料*优设计的试验点一般都是分布在混料试验域的极端顶点、边界以及中心位置，所以关于混料区域内极端顶点的搜索算法一直是研究的热点. Elfving（1952）提出了*优设计的设计点必须是试验域极端顶点的思想，Mclean和Anderson（1966）在此基础上提出一种渐近*优的极端顶点设计.这种算法在具有上、下界约束的混料试验域内，以上、下界作为二水平因子构造qx2？-1的析因设计，逐个计算判断并选出极端顶点.当q较大时，计算量相当大.之后，为了简化算法，Snee和Marquardt（1974，1976）提出了XVERT算法，XVERT算法可以搜索出具有上、下界约束的混料试验域的极端顶点，还讨论了若干种筛选设计方法来筛选分量.Snee（1975）基于二阶混料规范多项式模型给出了q分量系统的优良设计所要包含的设计点类别.自此，关于上、下界约束的混料区域极端顶点的搜索算法趋于成熟.有关混料极端顶点设计的问题还可以参见Wynn（1970）的研究.针对线性约束混料试验域，Snee（1979，1981）研究了极端顶点搜索问题，提出了CONSIM（CONstrained SIMplex）算法.关颖男（1984，1985）在此基础上对CONSIM算法进行了改进，提出了针对约束混料区域搜索极端顶点的分枝-限定算法，该算法使用简单，而且具有规格化，适用于计算机计算，也能克服XVERT算法可能产生重复顶点这样的缺点. 目前，以上研究成果都已经应用于实践中，在一些常见统计软件中也配套了相应的程序包.另外，根据*优设计理论，判断设计优劣的重要指标是模型的信息矩阵的凸函数，因此不同的模型所对应的*优设计也是不同的.常用的*优设计准则有*优准则、G-*优准则、*优准则等，其中准则是应用*为广泛的一种评价设计*优性的准则.Sinha等（2014）在其著作中讨论了一些混料*优设计的基础理论与常见模型的*优设计结果. 近年来，一些统计学者开始研究使用智能算法来搜索*优设计.例如，Karun-anithi等（2004）使用CAMD（Computer Aided Molecular Design）算法搜索混料试验的*优设计；Limmun等（2012）使用遗传算法搜索出了多项式模型的￡>-*优设计和Ds-*优设计；Li和Zhaiig（2018）基于拟分量变换设计的方法构造的随机搜索算法. 由于*优设计有缺乏稳健性及边界点分布过多的缺点，Fang和Wang（1994）使用数论的方法构造了均匀设计，使得试验点都分布于单纯形的内部.此后，王元和方开泰（1996）将均匀设计的思想引入混料设计中，提出了均匀混料设计.宁建辉（2008）研究了混料均匀设计的理论与方法. 混料均匀设计是将n个试验点均匀地分布在混料试验域上的一种设计.一般常见的有两种方法，分别是逆变换方法与数值优化法（Wang and Fang，1990）.之后许多文献研究推广了这一方法，例如，Tian和Fang（1999）研究了混料总量模型在约束区域上的均匀设计；Borkowski和Piepel（2009）研究了在具有线性约束的混料试验域上构造均匀设计的问题;复杂约束下的混料均匀设计与*优设计的构造等问题可以参阅Liu和Liu（2015）的文章以及Husain和Aslam（2024）的文章. 科学技术的发展与实际生产及科学研究的需要，对混料试验设计的研究也提出了许多新的挑战.在某些实际生产和科学研究的问题中，一方面，涉及定性因子、过程变量、试验点分布的均匀性以及设计的稳健性等需要解决的复杂混料试验问题；另一方面，涉及多因子和复杂约束以及复杂模型等特点.由此，逐渐形成了混料试验设计的多个不同的研究方向.例如，关于混料试验的*优正交区组设计（Ghosh and Liu，1999;Hasan and Hussain，2022;Prescott，2011）;混料试验的添加次序试验设计（Rios and Lin，2021;Rios et al.，2022;Jiang and Zhang，2022）;利用加权*优性准则讨论了混料试验的模型稳健*优设计（Limmun et al.，2018;Limmun et al.，2019;Krisoferse and Simucker，2020）;基于不同*优性准则的加权，以构造复合*优设计（Cook and Wong，1994;McGree et al.，2008;Li et al.，2025）;基于不同*优性准则，研究了混料选择试验的*优设计（Ruseckaite et al.，2017;Becerra and Goos，2021;2023.Zhu et al.，2019;Chen et al.，2023）. 关于混料设计的研究衍生出很多的分支，其中研究的热点主要是围绕
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