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| 內容簡介： |
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《实变函数论教程》系统讲述实变函数的基本理论，包括集合论的基本概念、欧几里得空间的拓扑性质与连续函数的基本性质、点集的测度与可测函数、Lebesgue积分理论以及微积分基本定理。作为实变函数基本理论的延伸，《实变函数论教程》还给出了Lp空间的基本理论和抽象测度论的一个简介，前者是泛函分析与调和分析的一个入门基础，后者可为概率论的学习提供一个初步的理论基础。
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目录 第1章 集合与Rn中点集 1 1.1 集合及其基数 1 1.2 Rn中点集及其拓扑性质 11 1.3 Rn中点集上的连续函数 19 1.4 注记 25 第2章 Lebesgue测度 26 2.1 外测度 26 2.2 可测集及其性质 32 2.3 可测集的构造 38 2.4 不可测集 43 2.5 注记 44 第3章 Lebesgue可测函数 45 3.1 可测函数及其对运算的封闭性 46 3.2 可测函数的构造 51 3.2.1 几类常见函数的可测性 51 3.2.2 可测函数是简单函数的极限 52 3.2.3 可测函数是连续函数的极限 54 3.3 可测函数列的收敛性 57 3.3.1 几乎处处收敛与一致收敛的条件 57 3.3.2 几乎处处收敛与一致收敛的关系 59 3.3.3 几乎处处收敛与依测度收敛的关系 60 3.4 注记 63 第4章 Lebesgue积分 64 4.1 非负简单函数的积分 64 4.2 非负可测函数的积分 66 4.3 一般可测函数的积分 73 4.4 积分的极限定理 77 4.5 积分的变量替换 84 4.6 重积分与累次积分 88 4.7 Lebesgue积分与Riemann积分的关系 94？4.8 注记 101 第5章 微分定理与Newton-Leibniz公式 102 5.1 Lebesgue微分定理 102 5.2 单调函数的可微性 109 5.3 有界变差函数及其导数的可积性 114 5.4 绝对连续函数与Newton-Leibniz公式 117 5.5 注记 124 第6章 Lp空间 126 6.1 Lp空间的定义 126 6.1.1 1≤p≤1的情形 126 6.1.2 p=2的情形 131 6.2 Lp空间中一些重要事实 133 6.2.1 Lp空间对指数p的相依性 134 6.2.2 Lp(Rn)中的逼近定理 138 6.2.3 卷积与恒等逼近 140 6.3 注记 144 第7章 测度论简介 146 7.1 可测空间与测度 146 7.2 可测函数 149 7.3 抽象积分 150 7.4 测度的构造与完备化 153 7.5 符号测度及其表示 155 7.6 注记 156 参考文献 158 索引 159
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第1章 集合与Rn中点集 实变函数在n维欧几里得空间Rn中一般的点集上建立度量理论和积分理论。因此，我们从集合的概念出发来开始本课程。本章我们给出集合的基本性质与运算，主要讨论集合的基数和Rn中点集的拓扑性质，并将数学分析中的区间上连续函数的定义与基本性质推广到Rn中点集E上的函数。本章是第2章Lebesgue测度以及第3章Lebesgue可测函数理论的基础。 1.1 集合及其基数 集合的定义是数学的基础问题，严格的定义超出了本书的范围。这里我们只描述性地给出集合必须满足的基本条件： (1) 集合是由元素构成的； (2) 一个元素是否属于这个集合是明确的，非此即彼的； (3) 集合本身不能是自己的元素。 集合中如果有若干元素是相同的，则视为一个元素。在纯集合论的意义上，集合的元素之间没有运算，没有序关系，没有比较关系，没有位置关系。设A是一个集合，a是一个元素，若a属于A，则记为；否则记为不含任何元素的集合称为空集，记为。 集合与集合之间可以作运算。设A；B是两个集合，如果它们所含元素完全相同，则称它们相等，记为A=B；否则称为不等，记为如果A中的元素恒为B中的元素，则称A是B的子集，或称B包含A，记为或包含与相等是集合的关系运算。除此以外，集合与集合之间可以作算术运算，即交、并、差、补、极限，其定义如下(全书中，符号8表示“对任意的”，9表示“存在”)： (1) 集合的并： (2) 集合的交： (3) 集合的差： (4) 集合的补：其中X表示全集，依具体问题而指定或不指自明； (5) 集合的卡氏(Cartesian)积：n个集合的卡氏积定义为 其中，两个元素和相等定义为其对应的元素相等，即特别地，n个相同的集合的卡氏积类似地定义一列集合A1；A2；的卡氏积并记 (6)集合列(N表示自然数集)的极限：(上极限：存在无穷多个，使得：下极限：存在使得：当 若则称的极限存在，并将记为否则称的极限不存在。 集合极限的概念对于初学者会有些困难，我们给予稍微多一些的解释。*先，集合列的上极限与下极限仍然是集合，是由集合列fAkg所确定的集合。下极限由这样的元素x构成：除去有限个集合外，均有。例如，考虑集合列 那么Ak是一个区间，它的左端点不断地交替取值。1和1，而其右端点为k，随着k的增大而趋于无穷(图1.1)。那么，显然，当x<1时，所有偶数下标的集合Ak均不包含x，所以；而当x>1时，只要k>x，就有。即*多有有限个Ak不包含x。所以因此 图1.1 集合Ak：=[(-1)k；k]；k=1；2； 类似地，集合由这样的点x构成：存在无穷多个k，使得在上面的例子中，易见对足够大的奇数k时，有而显然不属于任何集合所以 直观上看，下极限是由属于几乎所有集合Ak(除去有限个)的点构成的集合，而上极限是由属于无穷多个集合Ak的点构成的集合。由此可见，下极限是上极限的子集，而且上极限和下极限都与该集合列的有限个集合无关，也就是说，去掉其中的有限个集合，不会影响其上下极限。这一点与数列极限是一致的。 根据集合列的极限定义容易证明如下定理。 定理1.1.1(集合列极限的交、并表示)对集合列有 证 根据定义，是指：存在无穷多个使得即总存在使得也就是有故**式成立。类似可证第二式。 注 读者可将此结论与实数列的上下极限作比较。实数列的上下极限定义为 利用集合列极限的定义或定理1.1.1，容易求得如下两种特殊情况下的极限(证明留作练习)： (i) (渐张集列)若则 (ii) (渐缩集列)若则 根据集合的定义容易证明如下DeMorgan法则成立： 利用DeMorgan法则和定理1.1.1可知 本节的重点是研究集合的基数。基数是集合所含元素个数的一个度量。对于有限集，其基数定义为该集合所含元素的个数(空集可看作所含元素个数为0的有限集)，对于无限集，元素“个数”的概念十分复杂。例如，N(自然数集)，Z(整数集)，Q(有理数集)，以及R(实数集)都是无限集，但其所含元素个数相差甚远。显然，我们无法用某个数来度量无限集所含元素的多少。然而，通过一一映射我们却可以将无限集进行分类，也就是将彼此能建立一一映射的两个集合归入一类，认为它们的元素个数在同一个无限的量级上。我们称这样的两个集合具有相同的基数。定义1.1.1(集合的基数)设A；B是两个非空集合， (i) 如果存在映A到B的双射(既为单射，也为满射)，那么称A与B是对等的，记为A~B。或称它们有相同的基数，记为A=B。否则，记为。 (ii) 如果集合A与B的一个子集对等，则记为；如果，则记为。 易见，集合对等是一个等价关系，即满足自反性(A~A)、对称性(A~B蕴涵B~A)和传递性(A`B且B~C蕴涵A~C)。 例1.1.1 (0；1)~R，(0；1)n~Rn。 证 因是双射，所以R~(0；1)。余者类似可证。无限集中，一个*典型的集合是自然数集N。这就产生了如下可列集的概念。 定义1.1.2(可列集、可数集)与自然数集N对等的集合称为可列集；有限集和可列集统称为可数集①。非可数的集合称为不可数集。 显然，集合A可列当且仅当存在双射于是也就是说，集合A可列当且仅当A中的元素可以排列成一个序列。此即“可列集”名称的由来。 定理1.1.2(可列集的并)可数个可列集的并是可列集。 证 设A1；A2；为可列个可列集，我们设法将的元素排成一个序列。 记显然，的元素一定出现在如下的方阵中： 我们从左上角开始按斜对角的方式对此方阵的元素排序： a11；a12；a21；a13；a22；a31；a14；a23；a32；： 由于A1；A2；可能含相同的元素，所以方阵中也可能有相同的元素。如果出现已经排列过的元素，则弃之，那么的全部元素被排成了一个序列，因而是可列集。 对有限个可列集的情形，为可列个可列集，其并集不变。如上所证，其并集为可列集。 例1.1.2 证 因为所以Z是可列集。又因为 是一列可列集，所以也是可列集。 例1.1.3 设A~N，n是一自然数，则为可列集。 证 对n作归纳法。当n=1时结论显然成立。对自然数n>1，假设An-1为可列集，则有是可列集。由定理 1.1.2可知是可列集。据归纳法，对任意自然数n，An可列。 自然数集、整数集、有理数集都是可列集，那么是不是所有的无限集都是可列的呢?下面的定理表明，不可数的集合是存在的。 定理1.1.3(不可数集合)[0；1]是不可数集合。 证 为了证明不存在[0；1]到N的双射，我们采用反证法。设可列，则为了导出矛盾，我们构造[0；1]的非空子集A，使其不含任何一旦A被构造出来，那么A中的点不是任何一个，因而不在[0；1]中，与矛盾，即获证。 下面我们构造这样的集合A。其思想是从[0；1]中依次剔除每一个xk。 将[0；1]三等分，那么必存在其中一个区间不含x1，记该区间为I1.又将I1三等分，那么必存在其中之一不含x2，记此区间为I2，如此下去，得到闭区间列满足 且作集合显然每一个xk都不在A中。根据闭区间套定理，A非空。 请读者思考，在上面的证明中为什么要对区间进行三等分划分，二等分行吗?四等分呢? 如下定理表明，任一无限集必含有可列的子集，因而可列集是具有*小基数的无限集。 定理1.1.4(可列集是具有*小基数的无限集)任一无限集A必含可列的子集，因而 证 设A为一无限集，取仍为一无限集，于是可取同理可取不断进行下去，得到可列集 该定理对我们了解可数集对集合基数的作用非常重要。因为无限集包含可列子集，而可列集再添加可数的子集不改变其可列性，所以，无限集添加一个可数集后基数并不改变。我们将此整理成如下定理。 定理1.1.5(无限集的基数对可数增减的不变性)设A为一无限集，B为一可数集，则进一步，若也是无限集，则 分析 证明的基本思想是从A中抽取一个可列集A1，利用 构造双射。 证 因A为一无限集，故存在一可列的子集因是可数集，所以是一可列集，于是存在双射定义映射如下： 易见g是一个双射。所以 若也是无限集，因为可数集，如上所证，有 例1.1.4 证 根据定理1.1.5，有同理 称可列集的基数为(阿列夫零)，称实数集R的基数为(阿列夫)。因为[0；1]是不可列的，所以 上面已证明，实数集的基数大于可列集的基数，那么有没有比更大的基数呢?下面我们讨论这个问题。先引入幂集的概念。 定义1.1.3(幂集)设A是一个集合，称集合的幂集①。 显然对任意的集合A，有下面我们证明 定理1.1.6(幂集的基数)设A是一个集合，则 证 因只需证明A与P(A)不对等。若则存在双射 因故存在使得 现在我们考虑y是否属于若则有矛盾；若则有也产生矛盾。所以A不能与其幂集P(A)对等。 由此定理可知，任何一个集合，它的幂集的基数比它本身的基数更大。因此最大基数是不存在的。远在古希腊时期，人们认为没有一个无限集比另一个无限集大，这一观点持续了两千多年，直到1891年，G.Cantor证明了集合的幂集的基数比本身的基数大，人们才对无限集的大小有了新的认识。 既然N
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