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| 內容簡介： |
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《博弈论选讲》对博弈论中的主要数学模型进行了比较全面的介绍，然后应用非线性分析的理论和方法，对此进行了比较深入的研究。内容包括：数学预备知识、矩阵博弈与两人零和博弈、双矩阵博弈与n人非合作有限博弈、n人非合作博弈、广义博弈、数理经济学中的一般均衡定理、Bayes博弈与主从博弈、多目标博弈与广义多目标博弈、完美平衡点与本质平衡点、合作博弈简介。
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| 目錄：
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目录前言第1讲 数学预备知识 11.1 n维欧氏空间Rn 11.2 凸集与凸函数 71.3 集值映射的连续性 131.4 不动点定理与Ky Fan不等式 22第2讲 矩阵博弈与两人零和博弈 362.1 矩阵博弈 362.2 两人零和博弈 42第3讲 双矩阵博弈与n人非合作有限博弈 443.1 双矩阵博弈 443.2 n人非合作有限博弈 47第4讲 他人非合作博弈 494.1 他人非合作博弈Nash平衡点的存在性 494.2 鞍点的存在性 554.3 Cournot博弈 584.4 公共地悲剧问题 604.5 策略集无界情况下Nash平衡点的存在性 624.6 轻微利他平衡点的存在性 64第5讲 广义博弈 66第6讲 数理经济学中的一般均衡定理 716.1 Walras的一般经济均衡思想 716.2 自由配置均衡价格的存在性（超需映射是连续映射） 726.3 自由配置均衡价格的存在性（超需映射是集值映射） 756.4 均衡价格的存在性 776.5 福利经济学**定理 806.6 Nash平衡点存在性定理的应用 81第7讲 Bayes博弈与主从博弈 887.1 Bayes博弈平衡点的存在性 887.2 主从博弈平衡点的存在性 89第8讲 多目标博弈与广义多目标博弈 918.1 向量值函数关于Rk+的连续性和凸性 918.2 向量值Ky Fan不等式 978.3 向量值拟变分不等式 998.4 多目标博弈弱Pareto-Nash平衡点的存在性 1028.5 策略集无界情况下多目标博弈弱Pareto-Nash平衡点的存在性 1048.6 广义多目标博弈弱Pareto-Nash平衡点的存在性 1068.7 多目标博弈的权Pareto-Nash平衡点 107第9讲 完美平衡点与本质平衡点 1099.1 完美平衡点 1099.2 本质平衡点 111第10讲 合作博弈简介 11610.1 联盟与核心 11610.2 Shapley值 119参考文献 121
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第1讲 数学预备知识 本书的预备知识主要是有关凸分析、集值映射、不动点定理和Ky Fan不等式的一些基本概念和结论，本讲将在n维欧氏空间Rn的框架中，对这部分内容作简明扼要的介绍，主要参考了文献[11]～[16]。 1.1 n维欧氏空间Rn 关于n维欧氏空间Rn，相信读者是熟悉的， 对任意Rn中的两点x =（x1， ，xn）和y=（y1， ，yn），定义x与y之间的距离 显然有 （1）d（x，y）≥0，d（x，y）=0当且仅当x=y； （2）d（x，y）=d（y，x）； （3）对任意Rn中的一点z=（z1， ，zn），d（x，y）≤d（x，z）+d（y，z）。 设{Xm}是Rn中的一个序列，x∈Rn，如果，则称，显然x是唯一确定的，即如果，则x=y。 又d（x，y）是（x，y）的连续函数，即如果，则。 对任意x0∈Rn和实数r>0，记，它是以x0为球心、，为半径的开球。 设G是Rn中的非空点集，x0∈G，如果存在r>o，使，则称x0是G的内点。G中全体内点的集合称为G的内部，记为intG。如果G中每一点都是G的内点，即G=intG，则称G是Rn中的开集， 显然有 （1）空集和Rn都是开集； （2）任意个开集的并集是开集； （3）有限个开集的交集是开集。 设F是Rn中的非空点集，如果对F中的任一序列，则必有，就称F是Rn中的闭集， 易知闭集的余集是开集，开集的余集是闭集，且有 （1）空集和Rn都是闭集； （2）任意个闭集的交集是闭集； （3）有限个闭集的并集是闭集， 设A是Rn中的非空点集，所有包含A的闭集的交集，也就是包含A的*小闭集，称为A的闭包，记为五，显然A是闭集当且仅当A=A。 设x是Rn中的非空点集，可以将其视为Rn的子空间：对任意x中的两点x=（x1， ，xn）和y=（y1， ，yn），仍以Rn中两点之间的距离公式d（x，y）来定义它们在x中两点之间的距离。Rn中任意开集与x的交即为x中的开集，Rn中任意闭集与又的交即为x中的闭集。X0∈X，任何包含x0的又中的开集称为x0在x中的开邻域， 设A是Rn中的非空点集，称为A的直径，如果d（A）<∞，则称A是Rn中的有界集， 以下两个结果的证明见文献[17]。 聚魚收敛定理 设x是Rn中的有界闭集，则对x中的任意序列{Xm}，必子序列{Xmk}，使。 注1.1.1 这是数学分析实数理论中Weierstrass定理的推广， 进一步，如果x是Rn中的有界集，则对x中的任意序列{Xm}，必有子序列{Xmk}，使，这里因x不一定是闭集，故x不一定属于X。 有限开覆盖定理 设x是Rn中的有界闭集，{Gλ：λ∈A}是Rn中的任意一族开集（其中A是指标集），则存在这族开集中的有限个开集，使。 注1.1.2 这是数学分析实数理论中Borel覆盖定理的推广。进一步，如果x是Rn中的有界闭集，{Gλ：λ∈A}是x中的任意一族开集（其中A是指标集），则存在这族开集中的有限个开集，使。 证明 因Gλ是X中的开集，存在Rn中的开集，使。因，存在，，使，故。 设x是Rn中的非空子集，是一个函数，如果，存在x0在x中的开邻域O （x0），使，有 则称f在x0是上半连续的（或下半连续的）。如果f在x0既上半连续又下半连续，则称f在x0是连续的，此时，有，如果，f在x连续（或上半连续，或下半连续），则称f在x上是连续的（或上半连续的，戏下半连续的）。 设A是Rn中的非空点集，x∈Rn，称为x与A之间的距离。d（x，A）是x的连续函数且d（x，A） =0当且仅当x∈A。 引理1.1.1 设x是Rn中的非空点集，是一个函数，则 （1）f在x上是上半连续的当且仅当是x中的闭集： （2）f在x上是下半连续的当且仅当是x中的闭集； （3）f在x上是连续的当且仅当和都是x中的闭集， 证明 只证（1）。设f在x上是上半连续的，则，且，因f在x0上半连续且，则当m充分大时，有。因是任意的，故必是X中的闭集， 反之，因是X中的闭集，故必是X中的开集，又，记，它是x。在x中的开邻域，有，f在x0必是上半连续的。 注1.1.3 可以将引理1.1.1叙述为： （1）f在x上是上半连续的当且仅当是X中的开集： （2）f在x上是下半连续的当且仅当是X中的开集： （3）f在又上是连续的当且仅当和都是X中的开集， 定理1.1.1 设x是Rn中的有界闭集，那么有 （1）如果f在x上是上半连续的，则f在X上有上界，且达到其最大值； （2）如果f在x上是下半连续的，则f在X上有下界，且达到其*小值； （3）如果f在x上是连续的，则f在X上既有上界也有下界，且达到其最大值和*小值， 证明 只证（1）。用反证法，如果f在x上无上界，则对任意正整数m，存在，使f。因X是Rn中的有界闭集，由聚点收敛定理，必有{Xm}的子序列{XTnk}，使。因f在x0是上半连续的，令，当mk充分大时，有mk 记，则对任何正整数m，存在，使。同上，存在{Xm}的子序列{XTnk}，使，当mk充分大时，有，故。因是任意的，有M≤f（x0）。又f（x0）≤M，*后得f（x0）=M。 定理1.1.2 设x是Rn中的有界闭集，{G1， ，Gm}是x中的m个开集，且，则存在从属于此开覆盖{G1， ，Gm}的连续单位分划，即只满足 （i）βi在X上是连续的，且，有0≤βi（x）≤1； （2）如果βi（x）>0，则x∈Gi； （3） 证明 *先，如果，则，有，因Gi是开集，是闭集，故。，即，而，这与。矛盾。由此，在上连续，且，有。 显然 注意到，有。这样，当且仅当。 显然有 注意到，有，有 引理1.1.2 平行四边形公式 成立。 证明 设x和y分别是Rm和Rn中的两个非空子集，只m和Rn上的距离函数分别记为d和是一个映射，x0∈X。如果，存在x0在X中的开邻域O （x0），使Vx∈O（x0），有 则称映射f在x0上连续的，如果f在X中的每一点都连续，则称f在X上是连续的。此外，定义 易知，如果X和Y分别是Rm和Rn中的有界闭集，则X×Y必是Rm+n中的有界闭集。
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