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| 內容簡介： |
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《大学计算代数》以本科阶段高等代数的知识为起点，以易教易学为写作原则，讲述了计算代数的三部分内容：有限域和有理数域上的一元多项式的因式分解算法；Gr？bner基的基本理论及其在理想的运算和多项式方程组求解中的应用；吴文俊先生的特征列方法及平面几何定理的机器证明理论。在展开计算代数的理论的同时也讲述了传统的域论知识，以及代数零点集理论、Hilbert基定理、Hilbert零点定理等重要的现代数学的知识。
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目录前言第1章 域与多项式 11.1 域的概念与基本性质 11.2 域上的多项式 71.3 有限域 10习题 12第2章 一元多项式的因式分解 142.1 中国剩余定理 142.2 有限域上的多项式的因式分解 162.2.1 准素因式的计算 162.2.2 准素因式的分解 202.3 有理数域上的多项式的因式分解 24习题 36第3章 代数零点集的计算——线性情形 383.1 代数零点集 383.2 极小生成元集 413.3 线性方程组的解的存在性 433.4 高斯消元法解线性方程组的算法 44习题 47第4章 Gr？bner基的基本理论 484.1 单项式与单项式理想 484.2 单项式序 514.3 Gr？bner基 544.4 多元多项式的带余除法 604.5 Gr？bner基的计算 65习题 74第5章 多项式理想的运算 765.1 消元定理 765.2 理想的交 785.3 理想的商 825.4 理想的根 84习题 89第6章 解高次多项式方程组 906.1 多项式方程组的解的存在性 906.2 多项式方程组的求解 95习题 97第7章 吴方法与机器证明初步 997.1 引言——线性型定理的机器证明 997.2 整环上的多项式的拟除法 1017.3 多项式列的秩序 1027.4 多项式组的秩极小升列 1067.5 多项式组的特征列 1077.6 平面几何问题的代数化 1097.7 等式型定理的机器证明 111习题 113习题解答 115参考文献 137
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第1章域与多项式 一般的域是高等代数中数域的自然推广，高等代数中关于数域上的多项式的理论也可推广到一般的域上。本章介绍域及其上的多项式的基本理论，学过抽象代数（近世代数）的读者可以跳过本章。 1.1域的概念与基本性质 在高等代数中，我们知道了什么是数域。简单地说，数域就是由数组成的，可以在其中做加减乘除（除数不为零）的集合。而域是数域的推广，就是把数域中的元素从数推广到一般的元素。 完全类似于数域的定义，域可定义如下。 定义1.1.1设是一个至少包含两个元素的非空集合，在上定义了加法“+”和乘法“`”，而且 1.关于加法“+”具有下列性质。 (1)加法满足结合律，即有 (α+β)+γ=α+(β+γ); (2)加法满足交换律，即有 α+β=β+α; (3)中存在一个元素0，称之为零元，具有性质：有 α+0=α; (4)，存在，称之为的负元，具有性质： α+(？α)=0. 2.关于乘法“`”具有下列性质。 (1)乘法满足结合律，即有 (α`β)`γ=α`(β`γ); (2)乘法满足交换律，即有 α`β=β`α; (3)中存在一个单位元，记为1，具有性质：有 α`1=α; (4)，存在，称之为的逆元，具有性质： α`α1=1; (5)乘法对加法满足分配律，即有 α`(β+γ)=α`β+α`γ， 则称关于加法“+”和乘法“`”构成一个域，记为，或简记为，有时也简记为。中所含元素的个数记为。 例如，数域是域，于是，有理数域、实数域和复数域都是域。 注意到，数域都是无限集，事实上，是*小的数域。但是，由有限多个元素组成的域，即有限域，是存在的。例如，设只含两个元素，分别记为0和1，在上如下定义加法和乘法： 0+0=0，0+1=1+0=1，1+1=0; 则容易验证关于这样定义的加法和乘法构成一个域，通常记这个域为，这是元素个数*少的域。 上述定义的域是更一般的概念——环的推广，而环的定义中又蕴含了群的概念。 定义1.1.2设是一个非空集合，在上定义了一个运算，称为乘法，记为“`”，具有下列性质。 1.关于“`”满足结合律，即有 a`(b`c)=(a`b)`c; 2.中存在一个元素，称之为单位元，记为，具有性质：有 3.，在中存在的逆元，记为，具有性质： a`a？1=a？1`a=e， 则称关于“`”构成一个群，记为，或简记为，有时也简记为。 如果群G关于运算“`”也满足交换律，即有，则称是交换群或群，此时运算通常记为“+”。 群G中所含元素的个数称为的阶，记为。若，则称是有限群。 群G的非空子集如果关于的运算也构成一个群，则称是的子群。 定义1.1.3设是一个非空集合，在上定义了两个运算：一个是加法“+”另一个是乘法“`”。如果关于加法“+”构成一个群，而且关于乘法“`”具有下列性质： 1.乘法满足结合律，即有 (α`β)`γ=α`(β`γ); 2.乘法对加法满足分配律，即有 α`(β+γ)=α`β+α`γ， (β+γ)`α=β`α+γ`α， 则称关于加法“+”和乘法“`”构成一个环，记为，或简记为，有时也简记为。 环的非空子集如果关于的运算也构成一个环，则称是的子环。 如果环含有单位元，即存在使得对任意都有，则称是有单位元的环；如果环的乘法满足交换律，则称是交换环。本书讨论的环都是有单位元的交换环。 于是，域是一个有单位元的交换环，是一个群，也是一个群，其中。 定义1.1.4设是有单位元的交换环，是的一个非空子集，如果满足下列性质： 则称是的一个理想。 命题1.1.1设是有单位元的交换环，和是的理想，令 I+J={a+b|a∈I，b∈J}， 则是的一个理想，称之为与的和。与的交也是的理想。 证明对任意，有。则由和是的理想即得也是的理想。类似地，容易证明也是的理想。 下面的结论将在后面的讨论中被用到。 命题1.1.2设是有单位元的交换环，有的理想的升链： I？？I？？？. 则是的一个理想。 证明令。则对任意，存在使得。由于是一个理想，所以。因而是的一个理想。 设是有单位元的交换环，设是的子集，令 T？T？={t？t？|t？∈T？，t？∈T？}. 对的子集，的包含的*小理想称为由生成的理想，记为。若是有限集，则也记为。 容易验证： 记左式为。 的理想如果具有性质：若，由必有或，则称是的一个素理想。 例如，对任意素数，是整数环的素理想。 设是的一个理想，令 R/I={a+I|a∈R}， 其中中的元素，称为陪集。在上如下定义加法和乘法： (a+I)+(b+I)=a+b+I， 要不要我帮你把这些内容里的核心定义（群、环、域、理想）整理成一份简洁的速记清单，方便你快速记忆和查阅？
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