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| 編輯推薦： |
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详细介绍常用的计算方法算法设计原理，包括数值计算的常见算法、程序实现技巧等，以实践导向，教材注重实践操作，通过数学建模案例分析和实验练习，帮助学生将理论知识应用到实际问题中
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| 內容簡介： |
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本书介绍工程、科学领域中常用的数值计算方法，共6章，分别为绪论、非线性方程的数值解法、线性方程组的数值解法、插值与拟合、数值积分与数值微分以及常微分方程初值问题的数值解法，同时提供学习过程中需要用到的数学基础知识以供参考，给出典型计算方法的Python代码。本书可作为普通高校工科本科生、研究生“计算方法”课程教材或参考书，也可作为科技人员使用数值计算方法和Python的参考手册。
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| 目錄：
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目录
第 1章绪论 ........................................................................................................1
1.1计算方法 ..................................................................................................1
1.2误差与有关概念 ........................................................................................1
1.2.1误差来源 .......................................................................................1
1.2.2误差的基本概念 .............................................................................3
1.2.3数值运算的误差估计.......................................................................7
1.3数值计算中应注意的几个问题 ....................................................................9
习题一 ...........................................................................................................14
第 2章非线性方程的数值解法............................................................................15
2.1引言.......................................................................................................15
2.2逐步搜索法.............................................................................................16
2.3二分法 ...................................................................................................16
2.3.1基本思想 .....................................................................................16
2.3.2误差估计 .....................................................................................17
2.4不动点迭代法 .........................................................................................19
2.4.1引例 ............................................................................................19
2.4.2基本思想 .....................................................................................19
2.4.3迭代法的收敛性及收敛速度...........................................................22
2.4.4迭代法的加速收敛 ........................................................................26
2.5牛顿（Newton）法 .................................................................................29
2.5.1牛顿法的构造...............................................................................29
2.5.2牛顿法的几何意义 ........................................................................30
2.5.3牛顿法的局部收敛性.....................................................................30
2.6割线法 ...................................................................................................32
习题二 ...........................................................................................................34
第 3章线性方程组的数值解法............................................................................35
3.1引言.......................................................................................................35
3.2解线性方程组的直接法 ............................................................................36
3.2.1高斯消去法 ..................................................................................36
3.2.2高斯主元消去法 ...........................................................................43
3.2.3矩阵分解法 ..................................................................................52
计算方法 (Python版)
3.3向量和矩阵的范数...................................................................................63
3.3.1向量范数 .....................................................................................63
3.3.2矩阵范数 .....................................................................................67
3.4方程组的性态分析和矩阵条件数...............................................................70
3.5解线性方程组的迭代法 ............................................................................73
3.5.1基本思想 .....................................................................................73
3.5.2雅克比迭代法...............................................................................75
3.5.3高斯-塞德尔迭代法.......................................................................77
3.5.4逐次超松弛迭代法 ........................................................................79
3.5.5迭代法的收敛性 ...........................................................................81
习题三 ...........................................................................................................89
第 4章插值与拟合 ............................................................................................91
4.1引言.......................................................................................................91
4.2代数插值 ................................................................................................91
4.2.1拉格朗日插值...............................................................................93
4.2.2牛顿插值 ................................................................................... 100
4.2.3差分与等距节点插值公式 ............................................................ 108
4.2.4分段线性插值............................................................................. 114
4.3三次样条插值 ....................................................................................... 118
4.4曲线拟合的最小二乘法 .......................................................................... 126
4.4.1问题的提出 ................................................................................ 126
4.4.2最小二乘原理............................................................................. 127
4.4.3线性拟合 ................................................................................... 130
4.4.4多项式拟合 ................................................................................ 134
习题四 ......................................................................................................... 137
第 5章数值积分与数值微分 ............................................................................. 140
5.1引言..................................................................................................... 140
5.1.1数值积分的基本思想................................................................... 140
5.1.2求积公式的代数精度................................................................... 143
5.2插值型求积公式 .................................................................................... 148
5.3牛顿-柯特斯（Newton-Cotes）求积公式 ................................................. 151
5.3.1柯特斯系数 ................................................................................ 152
5.3.2牛顿-柯特斯公式的代数精度 ....................................................... 157
5.3.3牛顿-柯特斯公式的截断误差 ....................................................... 158
5.3.4牛顿-柯特斯公式的稳定性........................................................... 161
目录
5.4复化求积公式 ....................................................................................... 162
5.4.1复化求积公式的推导................................................................... 162
5.4.2复化求积公式的截断误差 ............................................................ 165
5.4.3变步长复化求积方法................................................................... 168
5.5龙贝格积分法 ....................................................................................... 171
5.6高斯求积公式 ....................................................................................... 175
5.6.1高斯积分问题的提出................................................................... 175
5.6.2高斯求积公式概述 ...................................................................... 175
5.7数值微分 .............................................................................................. 178
5.7.1差商与数值微分 ......................................................................... 178
5.7.2插值型求导公式 ......................................................................... 180
习题五 ......................................................................................................... 182
第 6章常微分方程初值问题的数值解法 ............................................................ 184
6.1引言..................................................................................................... 184
6.2欧拉法及其改进方法 ............................................................................. 185
6.2.1欧拉法....................................................................................... 185
6.2.2后退欧拉法 ................................................................................ 191
6.2.3梯形法....................................................................................... 193
6.2.4欧拉预测校正法 ......................................................................... 194
6.3龙格-库塔法 ......................................................................................... 197
6.3.1基本思想 ................................................................................... 197
6.3.2几种常用的 R-K公式 ................................................................. 198
6.4阿当姆斯法........................................................................................... 201
6.4.1基本思想 ................................................................................... 201
6.4.2阿当姆斯显式公式 ...................................................................... 202
6.4.3阿当姆斯隐式公式 ...................................................................... 203
6.4.4阿当姆斯预测校正系统 ............................................................... 204
习题六 ......................................................................................................... 205
附录 A典型算法的 Python代码 ..................................................................... 207
附录 B参考数学基础知识................................................................................. 246
参考文献 ............................................................................................................ 250
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| 內容試閱：
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前言
近年来，随着信息技术的蓬勃发展和计算机辅助教学技术的广泛应用，教学效率取得了显著提升。新兴教学模式不断涌现，使得学生可以更加灵活地进行学习和实践。然而，教学方式的革新也带来了课程学时的压缩，“计算方法”课程的学时从过去的 72学时压缩至如今的 32学时。这一变革对教学内容的优化和教学方法的改进提出了更高的要求。
在当前新工科的背景下，教育理念转向以学生学习收获为核心的 OBE（Outcome-Based Education）模式。 OBE强调以学生为中心，通过明确的学习成果目标来指导教学设计和评价体系。学生需要在有限的学时内建立全面的知识架构，掌握典型问题的数值计算方法。学时的减少要求学生充分利用课外时间进行自主学习和深入探索，提升自学能力和应用能力。这对教材的系统性和易读性都提出了新的挑战和要求。对于工科专业的学生来说，计算方法的学习需要与之前学习的高等数学和线性代数的相关概念和原理相衔接。这不仅要求学生具备扎实的数学基础，还需要他们能够将数学理论应用于实际问题的解决。因此，本书在算法原理介绍过程中，详细展开了算法原理和推导过程，尤其在算法引入时，特别强调问题驱动的理念。我们通过实际问题的示例，引导学生理解算法的应用场景和实际意义。此外，本书简要给出了部分预备和参考知识，以帮助学生更好地理解和应用这些算法。
本书共 6章，分别为绪论、非线性方程的数值解法、线性方程组的数值解法、插值与拟合、数值积分与数值微分、常微分方程初值问题的数值解法。每章的内容设计都经过精心地规划和安排，以确保知识点的连贯性和系统性。本书第 1章和第 6章由王淑栋编写，其中，第 1章介绍了“计算方法”课程的基本概念，即误差和有效数字，为后续章节的学习奠定了基础；第 6章介绍了初值问题的基本概念和常用的数值求解方法，即欧拉法、后退欧拉法、梯形法、欧拉预测校正法、龙格 -库塔法和阿当姆斯法。第 2章和第 3章由岳昊编写，其中，第 2章介绍了几种常用的迭代方法，如牛顿法和割线法，并通过实例分析了这些方法的收敛性和适用条件；第 3章重点介绍了直接法和迭代法，包括高斯消去法、矩阵分解法、雅克比迭代法等，帮助学生理解和掌握线性方程组的求解技巧。第 4章和第 5章由刘玉杰编写，其中，第 4章介绍了拉格朗日插值、牛顿插值和三次样条插值等插值方法及最小二乘法，并结合实际数据进行实例分析；第 5章详细讲解了梯形公式、辛普森公式、牛顿-柯特斯求积公式、复化求积公式、龙贝格积分法以及高斯求积公式等常用数值积分方法，简单介绍了插值型求导公式，并详细讨论了两点和三点求导公式，帮助学生理解和掌握积分和微分的数值计算技巧。在本书编写过程中，王淑栋和刘玉杰对整本书进行了认真校对，确保内容的准确性和逻辑性。刘玉杰还绘制了书中的插图，这些图直观清晰，可帮助读者更好地理解复杂的概念和算法。
计算方法 (Python版)
为了方便读者编程和参考，我们在附录 A和附录 B中分别列出了典型算法的 Python代码和参考数学基础知识。 Python作为一种高效的编程语言，其简洁和易用性使其成为数值计算和科学计算的理想工具。附录 A中的 Python代码可以帮助读者更好地理解算法的具体操作步骤和实现细节，增强编程实践能力。同时，附录 B中的数学基础知识为读者提供了便捷的参考资源，帮助其巩固和复习相关理论知识。
特别感谢庞善臣教授在本书编写过程中提出的中肯建议和宝贵帮助，他的专业意见和指导使得本书内容更加完善和丰富。同时，感谢学院在本书出版费用上的资助，没有学院的支持，这本书的顺利出版将难以实现。这是一本集体智慧的结晶，凝聚了众多编者的心血和努力，希望读者能够从中获益，提升自己的数值计算能力和解决实际问题的能力。
由于时间紧张，水平有限，书中难免有疏漏之处，欢迎各位读者批评指正。我们衷心希望这本书能在大家的帮助下不断改进和完善，成为学生和教师在计算方法学习和教学中的得力助手。
编者
2025年 3月
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