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| 內容簡介： |
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《线性代数（第四版）》是普通高等教育“十一五”***规划教材的改版升级，是作者团队在“新工科”背景下对线性代数教材的修订再版。《线性代数（第四版）》内容包括行列式、矩阵、n维向量与线性方程组、线性空间、矩阵的对角化、实二次型和线性变换等线性代数的基本知识以及基本线性代数问题的计算机实现，通过将线性代数的基本知识与计算机相结合使学生能利用数学软件解决一些简单的线性代数的实际问题。书末还给出了有关的Python软件的使用说明。相关章节后附线性代数基本知识测试题，读者可以自测。
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目录第四版前言**版前言第1章 行列式 11.1 行列式的概念 11.2 行列式的性质 111.3 行列式的计算 211.4 拉普拉斯定理 291.5 克拉默定理 38习题1 44第2章 矩阵 502.1 矩阵的概念 502.2 矩阵的运算 552.3 可逆矩阵 652.4 矩阵的分块 712.5 矩阵的初等变换与矩阵的秩 76*2.6 分块矩阵的初等变换 902.7 解线性方程组的高斯消元法 94习题2 100第3章 n维向量与线性方程组 1093.1 n维向量 1093.2 向量的线性关系 1133.3 向量组的秩 1253.4 齐次线性方程组 1343.5 非齐次线性方程组 140习题3 143第4章 线性空间 1514.1 线性空间的概念 1514.2 线性空间的维数、基与坐标 1554.3 基变换与坐标变换 1594.4 欧氏空间 163习题4 170第5章 矩阵的对角化 1765.1 矩阵的特征值与特征向量 1765.2 相似矩阵和矩阵的对角化 1855.3 正交矩阵与实对称矩阵的相似对角矩阵 191*5.4 实矩阵的奇异值分解 199习题5 202第6章 实二次型 2076.1 实二次型的基本概念 2076.2 化实二次型为标准形 2106.3 实二次型的正惯性指数 2176.4 正定二次型 220习题6 225第7章 线性变换 2287.1 线性变换的概念 2287.2 线性变换与矩阵 231*7.3 欧氏空间的正交变换和对称变换 239习题7 243第8章 软件实现与应用实例 2488.1 Python中的数值计算模块 2498.2 线性代数基本运算 2528.3 应用实例 258习题8 275习题答案 282参考文献 299索引 300
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第1章行列式 行列式是线性代数课程的一个重要内容。本章先介绍二阶和三阶行列式的定义及其性质，然后给出阶行列式的定义，并介绍几种特殊行列式的常用计算法。*后给出利用行列式求元线性方程组唯一解的常用方法，即克拉默定理。 1.1行列式的概念 本节先介绍二阶和三阶行列式，并用以求二元和三元线性方程组的唯一解。然后利用排列的逆序数给出阶行列式的定义和基本概念。 1.1.1二阶和三阶行列式的概念 定义1.1以数为元素的二阶行列式为 简记为。其中，称为行列式的元素，即该元素位于行列式的第行和第列的交汇处。和常分别称为元素的行下标和列下标。 例如，元素位于行列式的第2行和第1列的交汇处。 例1.1计算行列式 解据式，有 例1.2已知函数，求，使得。 解因为 即，得或。 例1.3设二元线性方程组 试问：在什么条件下，线性方程组有唯一解。 解在方程的两端同时乘以，在方程的两端同时乘以，然后将所得两式相减，即，得 由此可知，当时，有 同理可得，当时，有 记 称为线性方程组的系数行列式。 以上结论可以表述为： 当线性方程组的系数行列式时，有唯一解，且其解可表示为 例1.4设二元线性方程组为 试问：常数为何值时有唯一解，并求此解。 解因为其系数行列式 所以，当时，此时方程组有唯一解。又 其唯一解为 定义1.2以数为元素的三阶行列式为 三阶行列式也可按以下对角线展开法计算： 称元素为行列式的主对角线元素，称为行列式的次对角线元素。 例1.5计算三阶行列式。 解由式得 或由式得 类似于例的讨论，对于三元线性方程组 有类似结论： 当方程组的系数行列式时，有唯一解。其解为 其中， 例1.6设三元线性方程组为 试问：此方程组是否有唯一解？若有，求出其唯一解。 解方程组的系数行列式 所以此方程组有唯一解，行列式 1.1行列式的概念 因此，由式可得其唯一解为 1.1.2阶排列的逆序数 我们将用阶排列的逆序数给出阶行列式的定义，因此先介绍阶排列及其逆序数的概念。 在这里，阶排列是指由个有序的数构成的排列。记作，其中表示排列中的第个数。易知，共有个不同的阶排列。 在阶行列式定义中将要用到的是这个数构成的阶排列。 定义1.3在一个阶排列中，按照在排列中的次序，任取其中的两个数，记作，其中，称为排列的一个数对。如果在数对中，则称其为排列的一个顺序。如果在数对中，则称其为排列的一个逆序。排列中逆序的个数称为该排列的逆序数，记作或。 易知，在一个阶排列中，共有个不同的数对。若是偶数，则称排列为偶排列，否则称其为奇排列。 例1.7试求以下排列的逆序数： (1) (2) (3) (4) 解(1)在排列中有逆序，所以 因此排列是奇排列。 (2)在排列中有逆序，所以 因此排列是偶排列。 (3)在排列中没有逆序，所以 因此排列是偶排列。常称其为自然排列。 (4)在排列中的每一个数对都是逆序，所以 可见，当为偶排列时，是4的倍数。因此，当或时排列是偶排列，当或时排列是奇排列。 在一个阶排列中，交换其中某两个数的位置，而其余各数的位置保持不变，就得到了另一个排列。对排列进行一次这种操作，称为对此排列作了一次对换。在例1.7中，排列(2)就是排列(1)经一次对换得到的，它们的奇偶性是不同的。一般我们有以下结论。 定理1.1对换改变排列的奇偶性。即对奇排列作一次对换，所得的排列是偶排列，而对偶排列作一次对换，所得的排列是奇排列。 证先考虑相邻两数的对换。设排列为 交换其中两个数的位置，得排列 在这两个排列中，除了数对与以外，其他数对都是相同的。所以当时，有 而当时有 因此它们的奇偶性是不同的。 再考虑不相邻两数的对换。设排列为 交换其中两个数的位置，得排列 其中。为了讨论它们的奇偶性，我们先在式中将数依次与其右边相邻的数作次对换，得排列 然后，在所得的排列中，将数依次与其左边相邻的数作次对换，得排列式。所以式可视为由式作了次相邻两数的对换得到的。由前面的讨论知，排列式的奇偶性是排列式改变了次奇偶性得到的。因此它们的奇偶性是不同的。 推论1.1在个不同的阶排列中，奇偶排列各占一半。 要不要我帮你把这部分关于排列逆序数和对换的核心知识点整理成一份速记清单，方便你记忆和复习？
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