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| 內容簡介： |
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线性代数是高等院校理工、经管类专业的主要的基础课之一，随着深度学习与机器智能的兴起，线性代数的地位越来越重要。《线性代数》是在作者多年课程讲义的基础上、结合现代科技与人才发展的现状与趋势精心编写而成的。《线性代数》共7章，包括平面向量和空间向量、线性方程组和矩阵初步、矩阵代数、行列式、线性空间（向量空间）、矩阵的特征值以及相似标准形、二次型等内容。每章后配有适量习题以供读者对本章内容加以巩固，书后附有习题的参考答案，另外部分章后配有自测题，扫码可进行互动练习。
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目录前言第1章 平面向量和空间向量 11.1 平面向量和空间向量的相关概念 11.1.1 平面向量和空间向量的线性运算 11.1.2 空间直角坐标系和向量的坐标 21.1.3 向量的线性组合和线性表出 41.2 向量的内积 51.2.1 向量的内积和模 51.2.2 向量之间的夹角 61.3 平面的方程 71.3.1 平面的一般方程 71.3.2 两个平面之间的夹角 91.3.3 平面的向量表示式 101.4 直线方程 121.4.1 直线方程的向量表示式和一般方程 121.4.2 平面和直线的交点 141.5 向量的向量积 171.5.1 向量积的定义和性质 171.5.2 向量积的行列式表示式 18习题1 20第2章 线性方程组和矩阵初步 232.1 线性方程组和几何意义 232.1.1 线性方程和线性方程组 232.1.2 线性方程组的几何意义 242.2 线性方程组的解法 242.2.1 非齐次线性方程组的解法 242.2.2 求解非齐次线性方程组的矩阵方法 262.2.3 线性方程组的解的类型 282.2.4 解非齐次线性方程组的步骤 31iv 线 性 代 数2.2.5 齐次线性方程组的解 322.3 线性方程组的矩阵表达式 342.3.1 Rn 中的向量及线性组合 352.3.2 线性方程组的矩阵表达式 362.4 线性变换介绍 382.4.1 线性变换的几何意义 382.4.2 线性变换 402.5 线性方程组的应用 412.5.1 空间中的直线或者二次*线 412.5.2 网络中的流量问题 44习题2 47第3章 矩阵代数 523.1 矩阵的运算 523.1.1 矩阵的加法和数量乘法 523.1.2 矩阵的乘法的定义及几何意义 533.1.3 矩阵乘法的性质 573.1.4 矩阵的幂 593.2 矩阵的转置 603.2.1 矩阵的转置及性质 603.2.2 对称矩阵和反对称矩阵 613.3 矩阵的逆 623.3.1 可逆矩阵及它的逆矩阵 623.3.2 逆矩阵的性质及应用 633.4 初等变换和初等矩阵 643.4.1 初等矩阵和它的逆矩阵 643.4.2 利用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵 663.4.3 可逆矩阵的性质总结1 693.5 分块矩阵 703.5.1 分块矩阵及其线性运算 703.5.2 分块矩阵的乘法和转置 713.5.3 分块对角矩阵 733.6 置换矩阵 733.6.1 置换矩阵和初等矩阵的关系 733.6.2 置换矩阵的逆矩阵 74习题3 75第4章 行列式 794.1 二阶、三阶行列式 794.1.1 二阶行列式和方程组的联系 794.1.2 三阶行列式及计算 804.2 n 元排列 814.3 n 阶行列式 834.3.1 n 阶行列式的定义 834.3.2 特殊n 阶行列式的计算 854.4 行列式的性质及相关计算 874.4.1 行列式的性质 874.4.2 利用行列式性质进行计算 904.5 行列式的按行(列)展开 954.5.1 余子式和代数余子式 954.5.2 按行(列)展开定理 974.5.3 利用按行(列)展开定理计算行列式 1014.5.4 分块行列式计算 1094.6 伴随矩阵和逆矩阵的关系 1104.6.1 方阵的伴随矩阵 1104.6.2 伴随矩阵和逆矩阵的关系 1114.7 克拉默法则 1124.7.1 克拉默法则和方程组的解 1124.7.2 利用克拉默法则求解方程组 114习题4 115第5章 线性空间(向量空间) 1205.1 线性空间和线性运算 1205.1.1 线性空间 1205.1.2 线性空间的性质 1215.2 向量组的线性相关和线性无关 1225.2.1 线性相关和线性无关 1225.2.2 向量组的线性相关和齐次线性方程组解之间的关系 1245.2.3 线性相关和线性无关的性质 1275.3 向量组的秩 1285.3.1 等价向量组和秩 1285.3.2 等价向量组的性质 1295.3.3 求极大线性无关组及秩的解法 1315.4 子空间的基与维数 1325.4.1 子空间和生成子空间 1325.4.2 子空间的基和维数 1345.5 矩阵的秩 1395.5.1 矩阵的秩的定义 1395.5.2 矩阵的秩的性质 1395.5.3 可逆矩阵的性质总结2 1405.6 非齐次线性方程组的解 1425.6.1 非齐次线性方程组的解的性质 1425.6.2 求解非齐次线性方程组 1435.7 向量的内积和正交向量组 1435.7.1 向量的内积 1445.7.2 向量的正交 1455.7.3 正交向量组和正交化方法 1465.8 正交矩阵 1495.8.1 正交矩阵的定义 1495.8.2 正交矩阵的列(行)向量之间的关系 1495.9 子空间的正交基和正交补空间 1515.9.1 正交基和标准正交基 1515.9.2 正交补空间 1535.9.3 A矩阵的四个空间 154习题5 155第6章 矩阵的特征值以及相似标准形 1606.1 矩阵的特征值和特征向量 1606.1.1 特征值和特征向量的定义 1606.1.2 特征值和特征向量的求法 1616.1.3 特征值的性质 1646.1.4 特征向量的性质 1686.2 相似与相似对角矩阵 1696.2.1 矩阵的相似关系 1696.2.2 相似对角矩阵 1706.3 若尔当形矩阵 1756.3.1 若尔当块矩阵和若尔当形矩阵 1756.3.2 若尔当形矩阵的性质 1766.4 实对称矩阵的对角化 1766.4.1 实对称矩阵的特征值和特征向量的性质 1766.4.2 实对称矩阵的相似对角化 177习题6 181第7章 二次型 1847.1 二次型及其矩阵 1847.1.1 二次型及其表达式 1847.1.2 二次型的矩阵形式 1857.2 二次型的标准形 1867.2.1 矩阵的合同关系 1867.2.2 化二次型为标准形 1877.3 二次型的规范形 1967.3.1 二次型的秩和规范形 1967.3.2 规范形的性质 1977.4 正定二次型 2047.4.1 正定二次型及正定矩阵 2047.4.2 正定矩阵的性质 2087.4.3 其他类型的二次型 209习题7 209参考文献 212习题参考答案 213
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第1章平面向量和空间向量 在日常生活和科学技术中，某一些量完全由它的数值的大小来确定，例如温度、长度、时间、面积等等，这种量称为数量。也有一些量，不但有大小，还有方向，例如力、速度等等，这些既有大小又有方向的量，称为向量。 1.1平面向量和空间向量的相关概念 1.1.1平面向量和空间向量的线性运算 平面向量和空间向量包含方向和长度两个概念。在平面解析几何里，我们通常通过有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。例如以P为起点，Q为终点的有向线段所表示的向量，记为。向量的大小叫作向量的模，记为。需要注意的是，因为向量是一个与位置无关的概念，所以如果两个向量经过平行移动可以重合在一起，那么这两个向量就是相等的，也就是方向相同且长度相等的向量就是相等向量。如图1.1所示，向量和就是相等向量，可以记为。 为了方便，本书用字母或表示向量。 定义1.1模等于0，没有方向的（或者称方向不确定的）特殊向量，称为零向量，用0表示，在不混淆上下文的时候，也用0来表示。 定义1.2模等于1的向量，称为单位向量。 定义1.3如果向量和的模相等，方向相反，则称为的负向量，记为。显然也有。 用有向线段表示的向量通常称为几何向量。 所有平面中向量的集合，记为，所有空间中向量的集合记为。 定义1.4对于平面或者空间中的向量，，那么将向量称为向量与的和，记为。 图1.2为向量的加法的几何图示。 由定义可以验证向量的加法满足下列运算规则： (1)（交换律）; (2)（结合律）; (3) (4) 图1.2向量的加法 定义1.5实数和向量的乘积是一个向量，记为。当时，向量与方向相同，模是的倍；当时，向量与方向相反，模是的倍；当时，。有时实数和向量的乘积也被称为与的数量乘积。 由定义可以验证向量与数的数量乘积满足下列运算规则： (5)如果为实数，则; (6)如果为实数，则; (7)如果为实数，则; (8) 以上八条运算法则统称为向量的线性运算法则。无论是平面向量还是空间向量，这八条运算法则都成立。 1.1.2空间直角坐标系和向量的坐标 在平面解析几何中，可以通过坐标把平面上的点与一对有序数组对应起来，从而将平面上的图形和方程联系起来，利用代数的方法研究几何问题。由此对应于空间向量，需要引入空间直角坐标系，将空间的点与有序数组对应起来。 过空间中的一个定点O，作三条相互垂直的数轴，它们都以O为原点，依次称为x轴、y轴和z轴，统称坐标轴。它们的正方向满足右手法则，即当右手的四根手指指向x轴正向，再将四指以的角度弯向y轴，这时伸出大拇指，大拇指的方向即z轴正向，如图1.3所示。 对空间中的点P，过P作三个平面，分别垂直于x轴、y轴和z轴，它们与三个坐标轴的交点依次为A，B，C，假设这三点在x轴、y轴、z轴的坐标依次为。于是空间中的点P就确定了一个有序的实数组；反之亦然。因此对于空间中的点P，总有三个实数组成的实数组与其一一对应（对于平面中的点，则是有两个实数组成的实数组与其一一对应），这组数就叫作点P的坐标。 图1.3空间直角坐标系 对于点P，将有向线段确定的向量，称为点P关于这个坐标系下的位置矢量，如果点P的坐标为，那么向量可以表示成如下形式： （为了便于统一表示向量的表达形式，采取写成一列的形式。） 如果点P的坐标为，点Q的坐标为，于是有 根据定义1.4可知，所以有 如果两个向量，假设点P‘的坐标为，由此，根据性质(3)得，因此有 所以点P’的坐标和点P的坐标重合。 1.1.3向量的线性组合和线性表出 对于给定的空间直角坐标系，可知对应的向量是x轴正向的单位向量，对应的向量是y轴正向的单位向量，对应的向量是z轴正向的单位向量。因此规定这三个特殊的向量，为这个坐标系的单位向量。并且对于该空间的任意向量，总有。在这个表达式里，注意到向量与之间的关系只用到了向量的数量乘法和加法，也就是向量的线性运算。这种向量之间的线性运算也称为一个线性组合。 定义1.6设为向量空间中的一组向量，对于任意一组实数，称为向量组的一个线性组合，其中称为一组组合系数。 定义1.7若存在一组数，使得，就称可由向量组线性表出，其中称为线性表出系数。 因此就是向量的一个线性组合，而意味着向量可由线性表出。 如果两个向量和平行，就称它们是线性相关的；反之称它们是线性无关的。如果三个向量不在同一个平面上，也称它们是线性无关的（即假设，而O，P，Q，R这4个点不在同一个平面上）。由此可知是线性无关的。 为了便于说明，下例在平面向量中解释线性无关的向量的作用。 例1如果向量，，估计由的线性组合生成的。 解先考虑，再考虑，这里是任意实数，可以知道这两条线是图1.4中的两条实直线。如果分别令，，则由平行四边形法则可知图1.4中的交点都是系数为整数的线性组合形式；再进一步，可知图中任意的点都是的线性组合，故中的任意一个向量都是的某一个线性组合。 图1.4两个向量的线性组合 1.2向量的内积 1.2.1向量的内积和模 在平面向量中，如果，那么的模就是，同理，空间向量中如果，则的模，后续还会介绍更高维空间中的向量，它们的模也具有以上形式。 在平面向量中，如果两个向量之间的夹角是，根据余弦定理有 结合模的定义可得 这个等式称为向量与的内积，记为。即 而对于空间向量，也可以通过类似的方法，得到如下形式： 综上可得，平面向量或空间向量中两个向量的内积均为对应分量相乘再相加。此外内积还具有以下性质。 定理1.1设同为或中的向量，为实数，那么有 (1) (2) (3) (4)并且。 以上性质根据内积的定义都很容易推导出来。 1.2.2向量之间的夹角 根据两个向量的内积和向量的模，就可以计算两个向量之间的夹角余弦。 定理1.2向量与垂直的充要条件是。 证明(1)如果向量与中有一个是零向量，那么结论显然成立。 (2)如果向量与都不是零向量。 充分性：如果，而，又因为向量与都不是零向量，所以有，因此，即向量与垂直。 必要性：如果向量与垂直，那么它们之间的夹角，于是 定理1.3（勾股定理）向量和互相垂直。 证明 由向量和互相垂直，得。所以
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