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| 內容簡介： |
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《微分几何讲义》以主从与矢从上的联络为主线介绍现代微分几何，《微分几何讲义》分两部分，各5章。前3章给出微分流形的基本概念，把欧氏空间的微积分推广到微分流形上。第4、5章分别讨论Riemann流形与李群及李代数。第6、7章分别介绍纤维从理论与复流形，其中7.6节证明球面S6上没有可积的等距复结构。第8章介绍示性类，其中8.7节用示性类讨论Mihnor的7维怪球。第9章介绍Clifford代数与旋量群。第10章介绍Atiyah-Singer指标定理、规范场论与Seiberg-Witten方程。《微分几何讲义》内容丰富，纲目清楚，论证严谨，易于学习。
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| 目錄：
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目录前言第1章 微分流形 11.1 微分流形的定义及例子 11.1.1 欧氏空间 11.1.2 微分流形的定义 31.1.3 微分流形的例子 71.1.4 微分流形之间的映射 12习题1.1 161.2 切空间 171.2.1 代数预备知识 171.2.2 切空间 201.2.3 余切空间 25习题1.2 271.3 切丛与向量场 271.3.1 切丛与向量场 281.3.2 李括号积 301.3.3 切映射与余切映射 32习题1.3 351.4 子流形 361.4.1 预备定理 361.4.2 浸入与嵌入 38习题1.4 411.5 Frobenius定理 421.5.1 积分*线 421.5.2 Frobenius定理 441.5.3 积分子流形 47习题1.5 50第2章 外微分形式 522.1 张量与张量积 522.1.1 多重线性函数与张量积 522.1.2 张量 552.1.3 对称与反对称张量 57习题2.1 602.2 外代数 60习题2.2 682.3 矢丛 68习题2.3 742.4 外微分形式 752.4.1 外微分形式 752.4.2 外微分 762.4.3 Frobenius定理的另一描述 82习题2.4 842.5 单位分解与流形的定向 862.5.1 单位分解 862.5.2 流形的定向 882.5.3 带边流形 91习题2.5 942.6 流形上的积分与 Stokes定理 942.6.1 外形式的积分 952.6.2 Stokes定理 972.6.3 de Rham同调群 103习题2.6 106第3章 联络 1083.1 联络和测地线 1083.1.1 联络的定义及性质 1083.1.2 平行移动和测地线 1133.1.3 法坐标与指数映射 116习题3.1 1193.2 挠率和*率 119习题3.2 1253.3 张量丛上的联络 1253.3.1 矢丛上的联络 1253.3.2 流形的张量丛上的联络 127习题3.3 130第4章 Riemann流形 1314.1 Riemann几何基本定理 1314.1.1 Riemann度量 1314.1.2 Riemann联络 135习题4.1 1404.2 Riemann流形上的测地线 1414.2.1 法极坐标 1414.2.2 测地完备性 144习题4.2 1494.3 Riemann*率 1494.3.1 Riemann*率张量 1494.3.2 截面*率 154习题4.3 1594.4 Jacobi场和共轭点 160习题4.4 1694.5 Riemann子流形 1714.5.1 子流形的基本公式 1714.5.2 活动标架法 1754.5.3 欧氏空间的子流形 178习题4.5 1844.6 Hodge理论 1844.6.1 星算子 1854.6.2 Laplace算子 1884.6.3 Hodge定理及其应用 1964.6.4 Poincaré对偶 197习题4.6 2004.7 Gauss-Bonnet 定理 2014.7.1 Euler示性类 2014.7.2 向量场零点的指标 2034.7.3 Euler-Poincaré数 2054.7.4 Gauss-Bonnet定理 206习题4.7 208第5章 李群 2105.1 李群与李代数 2105.1.1 李群的定义与例子 2105.1.2 李代数 2155.1.3 流形上的单参数变换群 223习题5.1 2275.2 李群同态与指数映射 2285.2.1 李群同态 2285.2.2 指数映射 233习题5.2 2365.3 李群与李代数的伴随表示 2385.3.1 李群与李代数的伴随表示 2385.3.2 Killing-Cartan内积 242习题5.3 2455.4 齐性流形 2465.4.1 齐性流形 2465.4.2 齐性流形上的Riemann几何 251习题5.4 2575.5 Riemann对称空间 2585.5.1 对称空间的性质 2585.5.2 对称空间的*率 263习题5.5 268参考文献 270第6章 纤维丛理论 2726.1 矢丛同态与矢丛上的联络 2726.1.1 矢丛的同态与同构 2726.1.2 诱导丛 2756.1.3 矢丛上的联络 277习题6.1 2826.2 纤维丛与主丛 2836.2.1 纤维丛 2836.2.2 主丛的定义与例 2866.2.3 相配矢丛 290习题6.2 2926.3 主丛上的联络 2926.3.1 矢丛的标架丛上的联络 2936.3.2 主丛上联络的定义与性质 2966.3.3 水平提升 3006.3.4 主丛上联络的*率 302习题6.3 3066.4 Hopf丛π:S？→S？上的联络 307习题6.4 3126.5 再谈矢丛上的联络 313习题6.5 3176.6 和乐群 3186.6.1 主丛上的和乐群 3186.6.2 流形上的和乐群 321习题6.6 3226.7 Grassmann流形 323习题6.7 329第7章 复流形 3307.1 复线性空间与复结构 330习题7.1 3367.2 复流形 3387.2.1 复流形 3387.2.2 复流形上的全纯矢丛 345习题7.2 3477.3 近复流形 3487.3.1 近复流形 3487.3.2 近复流形上的联络 352习题7.3 3537.4 Kaehler流形 354习题7.4 3617.5 Kaehler流形的例子 363习题7.5 3697.6 球面S2？上的复结构 3717.6.1 欧氏空间？2？上的复结构 3717.6.2 扭化空间？？(S2？) 3767.6.3 球面S2？上的等距近复结构 3787.6.4 球面S2？上的近复结构 381习题7.6 384第8章 示性类 3858.1 Chern-Weil同态 3858.1.1 Ad(G)不变多项式 3858.1.2 主丛上情形 3888.1.3 矢丛上情形 391习题8.1 3928.2 Ad(G)不变多项式 3938.2.1 U(n)不变多项式 3948.2.2 O(n)与SO(n)不变多项式 397习题8.2 4008.3 陈类 401习题8.3 4118.4 Pontrijagin类与Euler类 4128.4.1 Pontrijagin类 4128.4.2 Euler类及其超渡式 4158.4.3 Gauss-Bonnet定理 419习题8.4 4228.5 陈类，Pontrijagin类与Euler类的关系 423习题8.5 4288.6 Grassmann流形上的矢丛与示性类 4298.6.1 Grassmann流形上的示性类 4298.6.2 Grassmann流形的子流形 4358.6.3 Grassmann流形的整同调群 438习题8.6 4448.7 Milnor的7维怪球 4458.7.1 球面S？上的矢丛与示性类 4458.7.2 Milnor怪球 453习题8.7 456第9章 Clifford代数与旋量群 4589.1 Clifford代数与旋量群 4589.1.1 Clifford代数的定义 4589.1.2 旋量群 4649.1.3 ？？？n上的欧氏内积 470习题9.1 4719.2 复Clifford代数 472习题9.2 4809.3 实Clifford代数 4819.3.1 ？？？？n的情形 4849.3.2 ？？？？n？？的情形 4899.3.3 Clifford代数的周期性 493习题9.3 4989.4 ？？？？及其应用 5009.4.1 Clifford代数 ？？？？ 5009.4.2 Triality变换 5059.4.3 Grassmann流形的几何 510习题9.4 5189.5 球面上的向量场 519习题9.5 5229.6 自旋主丛与旋量丛 5239.6.1 流形上的自旋结构 5239.6.2 旋量丛上的联络 527习题9.6 5319.7 校准 5329.7.1 校准的定义与性质 5329.7.2 校准和Clifford代数 5359.7.3 校准的微分方程 543习题9.7 547第10章 Atiyah-Singer指标定理 54910.1 椭圆微分算子 54910.1.1 矢丛上的微分算子与主象征 54910.1.2 **的椭圆微分算子 554习题10.1 56110.2 de Rham算子d+δ与Atiyah-Singer算子的关系 56110.2.1 算子d+δ:？？(M)→？？(M) 56210.2.2 Dirac算子 564习题10.2 57110.3 Dolbeault 算子与Atiyah-Singer算子的关系 57310.3.1 代数预备知识 57310.3.2 Dolbeault算子与Atiyah-Singer算子的关系 577习题10.3 58210.4 Atiyah-Singer指标定理 582习题10.4 59010.5 Bochner技巧 59110.5.1 Weitzenbock公式 59110.5.2 Weitzenbock公式的运用 593习题10.5 59810.6 Yang-Mills方程与Seiberg-Witten方程 59810.6.1 Yang-Mills方程 59810.6.2 Seiberg-Witten方程 605习题10.6 609参考文献 610名词索引 612
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第1章微分流形 流形是欧氏空间中*线、*面的自然推广.粗略地说，流形是一个拓扑空间，它的每一点有邻域与欧氏空间中的的开集同胚.因此，流形可以看成由欧氏空间的一些开集利用同胚映射粘起来的，由于粘贴的方法不同，可以得到各种不同的流形.研究流形的方法很多，可以用分析、代数拓扑、微分拓扑、纤维丛理论等方法.本书作为微分流形与Riemann几何的入门书，介绍如何把欧氏空间的微积分理论推广到微分流形上，以主丛与矢丛上的联络为主线介绍现代微分几何. 这一章介绍微分流形的一些基本概念，1.1节给出微分流形的定义，介绍一些微分流形的例子.1.2节和1.3节讨论微分流形上的线性结构，定义切空间、余切空间、向量场等重要概念.1.4节和1.5节讨论子流形及Frobenius定理. 1.1微分流形的定义及例子 微分流形上许多概念的定义都源于欧氏空间的结构与性质，在定义微分流形之前，*先简单回顾欧氏空间的性质. 1.1.1欧氏空间 以？表示实数的集合，？？={x=(x1，x2，？？？，x？)|x？∈？}是实数域上的n维线性空间.对任意 是？？上的线性运算. 定义了欧氏内积，？？称为一个欧氏空间.x=(x1，x2，？？？，x？)∈？？可以作为向量，也可以看作欧氏空间中点.是？？中向量的长度， 是点x，y的距离.如果对？？的子集U上每一点x？有ε>0，使得 B(x？，ε)={x∈？？|d(x？，x)<ε}？U， 称U是开集，这使得？？成为一个拓扑空间，定义的拓扑叫做欧氏拓扑，这一拓扑具有很好的性质.？？中所有的开球体{B(x，ε)}构成欧氏空间的一个拓扑基，？？中任一开集可以由这样的开球生成. 下面简单回顾？？上函数的微分与求导运算. 设f:U→？是？？中开集上一个函数，如果f在U上每一点都有直至r阶的各种偏导数，且这些偏导数在U上连续，则称f是r阶的可微函数，也简称f是C？的，U上所有这样的函数记为C？(U).特别，f∈C？(U)是U上的连续函数. 如果f有任意阶各种连续的偏导数，称f是C^∞的.如果f在开集U上每一点附近 可以展开成收敛的Taylor级数，称f是U上的解析函数.U上全体解析函数记为.如果f是欧氏空间？？的开集U到欧氏空间？？的映射，f:U→？？是向量值函数，表示为y=f(x)=(f1(x)，f2(x)，？？？，f？(x)).同样可以定义f的各种可微概念，如果f的每一个分量函数f^α(x):U→？是C？的，称f是C？的.如果r≥1，存在映射f的Jacobi矩阵 其中每个？f^α/？x？是U上的C？？1函数，i=1，？？？，n，α=1，？？？，m. 如果选用？？与？？上不同的欧氏坐标，映射f:U→？？的表达式不同，这时f的Jacobi矩阵也不同.下面给出可微的另一定义，这种定义更适合把微分推广到流形之间的映射. 定义1.1.1设f:U？？？→？？连续，对于开集U上点c，如果存在线性映射φ:？？→？？使得 称映射f在c处可微，φ是f在c处的微分. 定义中欧氏空间之间映射的微分是线性映射，下面的性质说明这一定义与上面由分量函数可微给出的可微定义的关系. 性质1.1.1如果f在c处可微，那么微分是唯一的.在？？与？？上取定的欧氏坐标下，y=f(x)，线性映射φ:？？→？？可以表示为(？f^α/？x？(c)). 证设f:U→？？在c处可微.在？？与？？上欧氏坐标下，设线性映射φ的矩阵是(a_αi)，对任意x=(x1，？？？，x？)∈？？， 因此 不难知道等价于下式对于α=1，？？？，m成立. 取x=(c1，？？？，c？？1，c？+t，c？？1，？？？，c？)，由上式可得 因此，线性映射φ在取定的欧氏坐标下为. 反之，如果都存在，则f在c处是可微的. 设U，V是欧氏空间？？的两个开集，如果映射F:U→V与它的逆映射F？1:V→U都是连续的，F:U→V是同胚映射，称开集U与V是同胚的.进一步，如果F与F？1都是可微的，F:U→V是微分同胚. 1.1.2微分流形的定义 我们知道，一个拓扑空间X上的拓扑结构是定义了开集、闭集等概念.它的任意个开集U？，U？，？？？的并集U？∪U？∪？？？是开集;任意有限个开集U？，U？，？？？，U？的交集U？∩U？∩？？？∩U？也是开集;一个开集U的余集X？U是闭集.设p是拓扑空间X上一点，U是包含p的开集，称U是p的开邻域，简称为p的邻域.对于X的子集A，如果a∈A有邻域U使U？A，称a是A的内点;而对X中点b？A，如果b的任意一个邻域都与A相交，称b是A的一个聚点或极限点，A与它的所有聚点所成集合称为A的闭包，记为ā，它是一个闭集.如果对拓扑空间X中任意两点p，q，分别有不相交的邻域U，V，称拓扑空间X是Hausdorff的.容易知道，前面由欧氏空间距离定义的欧氏拓扑是Hausdorff的. 定义1.1.2设M是一个Hausdorff的拓扑空间，如果M上每一点存在开邻域与？？中开集同胚，称M是一个流形，m是流形的维数. 由定义，欧氏空间？？以及它的开集都是流形.圆S1上每一点有邻域同胚于？1中开集，因此S1是一个1维流形.同理，球面S2是一个2维流形. 对于拓扑空间M的子集N，如果U是M的开子集，称U∩N是N的开集，这定义了N上的拓扑结构，称为由M决定的诱导拓扑. 假设图1-1-1中平面上的图形都具有？2的诱导拓扑.对照定义，这些图形都不是流形.图中(a)，(b)除去点p，q，r，每一点有邻域与？的开区间同胚，而点p，q，r的邻域不能与？的开区间同胚，因此(a)，(b)中图形不能是流形.图中(c)不是流形是由于一点与？的开区间的维数不同，点s是0维的.(d)是平面上一个圆及它的内部点构成，它的边界点(即圆上的点)的邻域不能像其他点的邻域那样与欧氏平面？2中开集同胚. 定义1.1.2要求流形的拓扑是Hausdorff的，见下例. 例1.1.1如图1-1-2，设M={p}∪ {x轴上的所有点}是？2的子集，p是坐标为(0，1)的点.定义M上拓扑如下:x轴同胚于？;如果U是O(0，0)在x轴上的一个开邻域，(U？{O})∪{p}也是p的开邻域.这样定义的拓扑使M上每一点都有邻域与？中开集同胚.但由M上拓扑的定义，点O与p的邻域总有交点，因此M不是Hausdorff的，不能成为流形. 设M是一个m维的流形，由定义，对任意p∈M存在邻域U及同胚
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