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《数值分析原理（第三版）》是工业和信息化部“十四五”规划教材，《数值分析原理（第三版）》考虑到工科各专业对数值分析的实际需要，重点突出学以致用的原则，着重介绍了常用数值计算方法的构造和使用，内容包括线性代数方程组数值解法、非线性方程和方程组的数值解法、插值法与数值逼近、数值积分、矩阵特征值计算、常微分方程数值解法等同时，对数值计算方法的计算效果、稳定性、收敛性、误差分析、适用范围及优缺点也作了必要的分析与介绍为辅助读者对重点知识点的深入理解，新增若干数字化教学资源，读者可通过扫描《数值分析原理（第三版）》二维码进行拓展学习。
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目录前言 数值计算引论 10.1 研究数值分析的必要性 10.2 误差来源与误差概念 20.2.1 误差来源 20.2.2 绝对误差与相对误差 30.2.3 有效数字 40.3 数值计算中应注意的若干问题 50.3.1 防止有效数字的损失 50.3.2 减少计算次数 70.3.3 避免使用不稳定的数值方法 8第 1 章 线性代数方程组数值解法 91.1 向量范数与矩阵范数 111.1.1 向量范数 111.1.2 矩阵范数 121.1.3 有关定理 161.2 Gauss消元法 191.2.1 Gauss消元法 191.2.2 Gauss-Jordan消元法 211.2.3 列选主元素消元法 221.2.4 全主元素消元法 241.3 三角分解法 251.3.1 Doolittle分解方法 291.3.2 Crout分解方法 321.3.3 Cholesky分解方法 341.3.4 解三对角方程组的追赶法 391.4 矩阵的条件数及误差分析 411.4.1 初始数据误差的影响及矩阵的条件数 411.4.2 病态问题简介 441.5 线性方程组的迭代解法 451.5.1 收敛性 471.5.2 Jacobi迭代 481.5.3 Gauss-Seidel迭代 491.5.4 超松弛迭代法 511.5.5 迭代收敛其他判别方法 541.6 梯度法 581.6.1 等价性定理 581.6.2 *速下降法 611.6.3 共轭梯度法 63习题1 69第 2 章 非线性方程和方程组的数值解法 732.1 基本问题 732.1.1 引言 732.1.2 二分法 752.2 不动点迭代法 772.2.1 不动点与不动点迭代 772.2.2 不动点迭代收敛阶 782.2.3 计算效率 842.3 Newton迭代法 842.3.1 基于反函数 Taylor 展开的迭代法 842.3.2 Newton迭代法 852.3.3 Newton迭代法的修正 882.3.4 重根上的 Newton迭代法 902.3.5 割线法 922.4 非线性方程组的数值解法 962.4.1 基本问题 962.4.2 非线性方程组的不动点迭代法 962.4.3 非线性方程组的 Newton 迭代法 982.4.4 拟Newton法 99习题2 103第 3 章 插值法与数值逼近 1053.1 多项式插值 1073.1.1 基本概念 1073.1.2 Lagrange插值公式 1083.1.3 Newton插值公式 1143.1.4 等距节点的Newton插值公式 1183.1.5 插值公式的收敛性与数值计算稳定性 1203.1.6 Hermite插值与分段插值 1243.2 样条插值 1333.2.1 引言 1333.2.2 基本概念 1333.2.3 三弯矩插值法 1363.2.4 三转角插值法 1403.3 最佳平方逼近 1453.3.1 函数的最佳平方逼近 1473.3.2 基于正交函数族的最佳平方逼近 1513.3.3 *线拟合的*小二乘逼近 1623.3.4 多项式*小二乘的光滑解 1673.4 周期函数的最佳平方逼近 1693.4.1 周期函数的最佳平方逼近 1693.4.2 离散情形 1713.4.3 周期复值函数的情形 1733.5 最佳一致逼近 1733.5.1 最佳一致逼近多项式的存在性 1743.5.2 Chebyshev定理 1763.5.3 零偏差*小问题 1803.5.4 最佳一次逼近多项式 1813.5.5 近似最佳一次逼近多项式 182习题3 186第 4 章 数值积分 1904.1 数值积分的一般问题 1904.1.1 问题的提出 1914.1.2 数值积分的基本思想 1924.1.3 代数精度与插值型求积公式 1934.2 等距节点的Newton-Cotes公式 1954.2.1 Newton-Cotes公式 1954.2.2 Newton-Cotes公式数值稳定性 1984.2.3 Newton-Cotes公式的余项 1994.2.4 复化的Newton-Cotes公式 2034.3 Romberg积分法 2064.3.1 Richardson外推法 2064.3.2 Bernoulli多项式与Bernoulli数 2094.3.3 Euler-Maclaurin求和公式 2124.3.4 Romberg积分 2154.4 Gauss 求积公式 2184.4.1 Gauss求积公式及其性质 2184.4.2 Gauss公式的数值稳定性 2224.4.3 Gauss-Legendre求积公式 2224.5 带权函数的Gauss求积公式 2264.5.1 代数精度与数值稳定性 2264.5.2 无穷区间上的求积公式 2314.5.3 奇异积分 2344.6 复化的Gauss型求积公式 2394.7 自适应积分方法 2424.8 多重积分 244习题4 245第 5 章 矩阵特征值计算 2485.1 特征值基本性质和估计 2485.1.1 特征值问题及其性质 2485.1.2 特征值估计 2525.2 幂法和反幂法 2555.2.1 幂法 2555.2.2 加速与收缩方法 2605.2.3 反幂法 2635.3 Jacobi方法 2675.3.1 旋转变换 2675.3.2 Jacobi方法 2705.4 Householder方法 2725.4.1 Householder变换 2725.4.2 对称三对角矩阵的特征值计算 2775.4.3 特征向量的计算 2805.5 LR和QR算法 281习题5 285第 6 章 常微分方程数值解法 2886.1 初值问题数值方法的一般概念 2886.2 Euler法 2916.2.1 显式Euler法与隐式Euler法 2916.2.2 Euler法的局部截断误差与精度 2946.2.3 Euler法的稳定性 2966.3 Runge-Kutta法 2986.3.1 RK法的一般形式 2986.3.2 二级RK法 2996.3.3 四级RK法 3016.3.4 局部截断误差的实用估计 3036.3.5 单步法的收敛性、相容性、稳定性 3046.4 线性多步法 3086.4.1 线性多步法的一般形式 3086.4.2 线性多步法的逼近准则 3086.4.3 线性多步法阶与系数的关系 3096.4.4 线性多步法的构造方法 3106.5 线性多步法的收敛性 3176.6 线性多步法的数值稳定性 3236.6.1 差分方程解的性态 3236.6.2 积累误差的性态 3246.6.3 稳定性定义 3256.7 预测-校正方法 3286.7.1 基本思想 3286.7.2 基本方法 3296.7.3 预测-校正法和 RK 法的比较 3336.8 高阶方程和方程组 3346.9 Stiff方程简介 3366.9.1 Stiff方程 3366.9.2 A(α)稳定，刚性稳定 3386.10 边值问题数值方法 3406.10.1 打靶法 3416.10.2 有限差分法 343习题6 346参考文献 349
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数值计算引论 0.1研究数值分析的必要性 随着科学技术的发展’科学与工程计算已被推向科学活动的前沿.科学与工程计算的范围扩大到了所有科学领域，并与实验、理论三足鼎立，相辅相成，成为人类科学活动的三大方法之一.因此，熟练地运用计算机进行科学计算，已成为科技工作者的一项基本技能，这就要求人们去研究和掌握适用于计算机上使用的数值计算方法.而数值分析就是研究用计算机解决数学问题的数值计算方法及有关理论. 一般地，用计算机进行科学与工程计算时要经历如下过程： 可见，数值分析是科学与工程计算过程中必不可少的环节.它以纯数学为基础，但不只研究数学本身的理论，而着重研究解决问题的数值方法及效果，如怎样使计算速度*快、存储量*少等问题，以及数值方法的收敛性、稳定性、误差分析.虽然有些方法在理论上还不够完善与严密，但通过对比分析、实际计算和实践检验等手段，被证明是行之有效的方法，也可采用.因此，数值分析这门课程既带有纯数学高度抽象性和严密科学性的特点，又具有应用的广泛性和实际试验的高度技术性特点，是一门与计算机密切相连的实用性很强的计算数学课程. 例如，用Cramer（克拉默）法则解一个n阶线性代数方程组需要计算n+1个n阶行列式.不计加减运算，求解总共需要n!（n+1）+n次乘除法.当n很大时，这个计算量是相当惊人的.比如一个不算太大的20阶方程组，大约要做9.7x102Q次乘除法，显然，这样的方法是毫无实用意义的.然而，如果采用数值分析中介绍的任何一种解线性方程组的数值方法，比如Gauss（高斯）消元法，乘除法次数不超过3000次，即使在微型计算机上，也只需几秒钟时间就能很容易地完成.这个例子说明了研究实用的数值方法是非常有必要的.而数值分析研究的正是在计算效率上最佳的或近似最佳的方法，而不是像Cramer法则这样的方法. 0.2误差来源与误差概念 对数学问题进行数值求解，求得的结果一般都包含有误差.即数值计算绝大多数情况是近似计算，因此，误差分析和估计是数值计算过程中的重要内容，由它们可以确切地知道误差的性态和误差的界. 0.2.1误差来源 数值结果中的误差通常来自固有误差与计算误差，如下面所示： 固有误差的一个来源是由求解问题的数学模型本身所固有的模型误差，它包括对实际物理过程进行近似的数学描述时所引进的误差.另一个来源是物理数据的不精确性，这些数据往往是由实验观测得到的，从而带有观测误差.这些都不是数值分析所研究的内容. 计算误差主要有两个来源.一个是由于在求解某一个已公式化的数学问题时，不是对其本身求解而是对它的某一个近似问题求解而造成的，这类误差称为截断误差或方法误差.这类误差往往是由有限过程逼近一个无限过程时产生的.比如，函数#可展开为幂级数形式 （0.2.1） 如果用式（0.2.1）右边的前n+1项 （0.2.2） 来近似的无穷多项的和，所产生的误差就是这一问题的截断误差，为 （0.2.3） 再比如序列 （0.2.4） 因为，所以，可以用无限迭代过程式（0.2.4）的有限次结果来得到的近似值，而产生的误差也是截断误差. 通常这类误差的精确值是不能求得的，所以，一般只研究这类误差的某一估计值或它的某一个界. 产生计算误差的另一重要来源，是由于算术运算几乎不可能在计算机上完全精确地进行.*先，由于计算机所能表示的数字的位数有限（即字长有限），在进行计算时，对超过计算机所能表示的位数的数字就要进行舍入；其次，尽管有些数据可以精确地由计算机表达，但是，当进行乘除运算时，常常也要对其运算的结果进行舍入，如计算上述这种对某一个数进行舍入而产生的误差称为舍入误差. 0.2.2绝对误差与相对误差 定义0.1设￡代表精确值a;的一个近似值，称 （0.2.5） 为近似值5的绝对误差，或简称误差. 显然，绝对误差依赖于量纲，通常无法精确地算出绝对误差的真值，只能根据具体测量或计算的情况估计它的绝对值的范围，也就是去估计|五（句|的上界.若 （0.2.6） 称为的绝对误差界，或简称误差界. 在工程技术上，常将不等式（0.2.6）表示成 绝对误差的大小，在许多情况下还不能完全刻画一个近似值的精确程度.如有两个数 这里y的绝对误差是x的107倍，但是不能就此断定近似值—定比近似值及精确程度髙.若考虑到精确值本身的大小，在1015内差106显然比在10内差0.1更精确些.这说明一个近似值的精确程度，除了与绝对误差有关，还与精确值本身有关.为此引入相对误差概念. 定义0.2设5是精确值o;的一个近似值，称 （0.2.7） 为近似值$的相对误差. 相对误差是无量纲的，通常用百分数表示，与绝对误差类似，我们只能估计相对误差绝对值的某一个上界.若 （0.2.8） 则称为近似值的相对误差界. 由于 从而 显然，当很小时，与的差是的平方量级，可以忽略不 计.因此，在实际计算中，常取 （0.2.9） 0.2.3有效数字 我们表示一个近似数时，为了能反映它的精确程度，常常用到“有效数字”的概念？ 定义0.3若a;的某一近似值$的绝对误差界是某一位的半个单位，则从这一位起直到左边第一个非零数字为止的所有数字都称为S的有效数字. 具体地说，对于数％经四舍五入之后，得到它的近似值 （0.2.10） 其中，都是，这十个数字之一，是正整数，是整数.如果的绝对误差满足 （0.2.11） 我们称5为:r具有n位有效数字的近似值，也可以说它精确到第n位.其中都是的有效数字.如果表示一个数的数字全是有效数字，则称此数为有效数. 例0.1按四舍五入原则分别写出数0.03783551，e=2.718281828 ，0.002030002具有5位有效数字的近似数. 解按有效数字定义，上述各数具有5位有效数字的近似数分别是 需要注意的是，有效数0.00203与0.0020300是不同的，前者具有3位有效数字，其 绝对误差不超过，而后者具有5位有效数字，其绝对误差不超过. 由式（0.2.11）可见，n越大，绝对误差界越小.即有效数字越多，数字越准确，绝对误差越小. 下面再来讨论有效数字与相对误差的关系.设5具有n位有效数字，由式（0.2.10）知 所以再由式（0.2.11）得 （0.2.12） 这个结果说明，有效数字越多，相对误差也越小.因此，在计算过程中，我们要尽量保留多的有效数字. 0.3数值计算中应注意的若干问题 我们用一些例子来说明数值计算中常遇到的一些应该注意的问题. 0.3.1防止有效数字的损失 1.相近两数相减有效数字会严重损失例0.2用中心差商公式 （0.3.1） 求在的导数近似值. 解根据所给公式 （0.3.2） 用5位字长的数字计算，取得 与导数精确值比较，计算结果是可接受的.然而，若取，则由 算出的结果完全失真.出现这种现象的原因是计算机上数的表示受机器字长的限制.当h很小时，发生两个值相近的数相减，损失了有效数字，甚至在计算机字长范围内，有效数字损失殆尽.为避免损失有效数字，可将式（0.3.2）改写成 用这个公式，仍取h=0.0001，计算出的值为0.35356.显然，这一结果有5位有效数字. 表达式与从纯数学的角度两者完全等价，没有任何差异.造成上面计算效果的不同，完全是由于数值计算中的舍入误差.再分析Taylor公式
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